Находим сторону треугольника, если две другие известны тремя способами, формулы. Находим сторону треугольника, если две другие известны тремя способами, формулы Другие задачи из этого раздела

9.Прямоугольный треугольник.

Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольный.

Гипотенуза- сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла. А две другие стороны катетами.

· Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 .

· Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 0 , равен половине гипотенузы.

· Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 0 .

10.Призаки равенства прямоугольных треугольников.

· Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

· Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

· Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

· Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Доказательство: Наложим АВС на А 1 В 1 С 1 так, чтобы точка А 1 совпала с А. Так как АС=А 1 С 1,то, по аксиоме откладывания отрезков, точка С 1 совпадёт с С. Так как А = А 1, то, по аксиоме откладывания углов, луч А 1 В 1 совпадёт с лучом АВ. Так как АВ = А 1 В 1, то, по аксиоме откладывания отрезков, точка В 1 совпадёт с точкой В. Треугольники А 1 В 1 С 1 и АВС совпали, значит, АВС = А 1 В 1 С 1 Ч.Т.Д.

Доказательство: Наложим АВС на А 1 В 1 С 1 так, чтобы точка А 1 совпала с А. Так как АС=А 1 С 1,то, по аксиоме откладывания отрезков, точка С 1 совпадёт с С. Так как А = А 1, то, по аксиоме откладывания углов, луч А 1 В 1 совпадёт с лучом АВ. Так как С = С 1, то, по аксиоме откладывания углов, луч С 1 В 1 совпадёт с лучом СВ. Точка В 1 совпадёт с точкой В. Треугольники А 1 В 1 С 1 и АВС совпали, значит, АВС = А 1 В 1 С 1 ЧТД

М е д и а н а Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. медианабиссектриса 1 В Ы С О Т А б и с с е к т р и с а Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. высота

А В С К М O Т Продолжение высот тупоугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внешней области треугольника. Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине С. Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внутренней области треугольника. O А В С Точка пересечения высот называется – ортоцентр.

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Эта точка тоже замечательная – точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности. O б и с с е к т р и с а

1 Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. В Ы С О Т А В Ы С О Т А Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины острого угла, совпадает с катетом. Высота в тупоугольном треугольнике, проведенная из вершины острого угла, проходит во внешней области треугольника. В Ы С О Т А 11

Вывод 1.В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. 2.В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой. 3.В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

В геометрии часто бывают задачи, связанные со сторонами треугольников. Например, часто необходимо найти сторону треугольника, если две другие известны.

Треугольники бывают равнобедренными, равносторонними и неравносторонними. Из всего разнообразия, для первого примера выберем прямоугольный (в таком треугольнике один из углов равен 90°, прилегающие к нему стороны называются катетами, а третья — гипотенузой).

Быстрая навигация по статье

Длина сторон прямоугольного треугольника

Решение задачи следует из теоремы великого математика Пифагора. В ней говорится, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы: a²+b²=c²

• Находим квадрат длины катета a;
• Находим квадрат катета b;
• Складываем их между собой;
• Из полученного результата извлекаем корень второй степени.

Пример: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b² =3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. То есть, длина гипотенузы данного треугольника равна 5.

Если же у треугольника нет прямого угла, то длин двух сторон недостаточно. Для этого необходим третий параметр: это может быть угол, высота площадь треугольника, радиус вписанной в него окружности и т.д..

Если известен периметр

В этом случае задача ещё проще. Периметр (P) представляет собой сумму всех сторон треугольника: P=a+b+c. Таким образом, решив простое математическое уравнение получаем результат.

Пример: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Решаем уравнение, перенося все известные параметры в одну сторону от знака равенства:

2) Подставляем вместо них значения и вычисляем третью сторону:

c=18-7-6=5, итого: третья сторона треугольника равна 5.

Если известен угол

Для вычисления третьей стороны треугольника по углу и двум другим сторонам, решение сводится к вычислению тригонометрического уравнения. Зная взаимосвязь сторон треугольника и синуса угла, несложно вычислить третью сторону. Для этого нужно возвести обе стороны в квадрат и сложить их результаты вместе. Затем вычесть из получившегося произведение сторон, умноженное на косинус угла: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Если известна площадь

В этом случае одной формулой не обойтись.

1) Сначала вычисляем sin γ, выразив его из формулы площади треугольника:

sin γ= 2S/(a*b)

2) По следующей формуле вычисляем косинус того же угла:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) И снова воспользуемся теоремой синусов:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Подставив в это уравнение значения переменных, получим ответ задачи.