Обобщенная теорема фалеса формулировка. Обобщенная теорема Фалеса; Формулировка

Если стороны угла, пересекают прямые параллельные линии которые одну из сторон разделяют на несколько отрезков, то и вторую сторону, прямые так же разделят на равнозначны с другой стороной отрезки.

Теорему Фалеса доказывает следующее: С 1 , С 2 , С 3 - это места где пересекаются прямые параллельные на любой стороне угла. С 2 находится посередине относительно С 1 и С 3 .. Точки D 1 , D 2 , D 3 - это места где пересекаются прямые, которые соответствуют прямым с другой стороной угла. Доказываем, что когда C 1 C 2 = C 2 C з, значит и D 1 D 2 =D 2 D 3 .
Проводим в месте D 2 прямой отрезок КР, параллельный участку C 1 C 3 . В свойствах параллелограмма C 1 C 2 =KD 2 , C 2 C 3 = D 2 P. Если C 1 C 2 =C 2 C 3 , то и KD 2 =D 2 P.

Полученные треугольные фигуры D 2 D 1 K и D 2 D 3 P равняются. И D 2 K=D 2 P по доказательству. Углы с верхней точкой D 2 равняются как вертикальные, а углы D 2 KD 1 и D 2 PD 3 равняются как внутренние накрест лежащие при параллельных C 1 D 1 и C 3 D 3 и разделяющей KP.
Так как D 1 D 2 =D 2 D 3 теорема доказана по равенству сторон треугольника

Заметка: Если взять не стороны угла, а два прямых отрезка, доказательство будет такое же.
Любые прямые отрезки параллельные друг другу, которые пересекают две рассматриваемые нами прямые и разделяющие одну из них на одинаковые участки, тоже самое делают и со второй.

Рассмотрим несколько примеров

Первый пример

Условием задания требуется разбить прямую СD на п одинаковых отрезков.
Проводим от точки С полу-прямую с, которая не лежит на прямой СD. Отметим на ней одинаковые по величине части. СС 1 , С 1 С 2 , С 2 С 3 .....С п-1 С п. Соединяем С п с D. Проводим прямые от точек С 1 ,С 2 ,....,С п-1 которые будут параллельны относительно С п D. Прямые будут пересекать СD в местах D 1 D 2 D п-1 и разделять прямую СD на п одинаковых отрезков.

Второй пример

На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка СК. Отрезок СК пересекает медиану АМ треугольника в точке Р, при этом АК= АР. Требуется найти отношение ВК к РМ.
Проводим через точку М прямой отрезок, параллельный СК, который пересекает АВ в точке D

По теореме Фалеса ВD=КD
По теореме пропорциональных отрезков получаем, что
РМ = КD = ВК/2, следовательно, ВК: РМ = 2:1
Ответ: ВК: РМ = 2:1

Третий пример

В треугольнике АВС, сторона ВС = 8 см. Прямая DE пересекает стороны АВ и ВС параллельно АС. И отсекает на стороне ВС отрезок ЕС = 4см. Доказать, что АD = DВ.

Так как ВС = 8 см и ЕС = 4см, то
ВЕ = ВС-ЕС, следовательно, ВЕ = 8-4 = 4(см)
По теореме Фалеса , так как АС параллельна DE и ЕС = ВЕ то, следовательно, АD = DВ. Что и требовалось доказать.

В женском журнале - онлайн, Вы найдете много интересной информации для себя. Так же есть раздел, посвященный стихам которые написал Сергей Есенин . Заходите не пожалеете!

1. 
   Формулировка;
2. 
   Доказательство;

1. 
   Теорема о пропорциональных отрезках;
2. 
   Теорема Чевы;

1. 
   Формулировка;
2. 
   Доказательство;

1. 
   Теорема Менелая;

1. 
   Формулировка;
2. 
   Доказательство;

1. 
   Задачи и их решения;
2. 
   Заключение;
3. 
   Список использованных источников и литературы.

Введение.

Все незначительное нужно,

Чтобы значительному быть…

И. Северянин
Данный реферат посвящен применению метода параллельных прямых к доказательству теорем и решению задач. Почему мы обращаемся к этому методу? В этом учебном году на школьной олимпиаде по математике была предложена геометрическая задача, которая нам показалась очень сложной. Именно данная задача и дала импульс к началу работы по изучению и освоению метода параллельных прямых при решении задач на нахождение отношения длин отрезков.

Идея самого метода построена на использовании обобщенной теоремы Фалеса. Теорема Фалеса изучается в восьмом классе, ее обобщение и тема «Подобие фигур» в девятом и только в десятом классе, в ознакомительном плане, изучаются две важные теоремы Чевы и Менелая, с помощью которых относительно легко решается ряд задач на нахождение отношения длин отрезков. Поэтому на ступени основного образования мы можем решать довольно узкий круг задач по данному учебному материалу. Хотя на итоговой аттестации за курс основной школы и на ЕГЭ по математике задачи по данной теме (Теорема Фалеса. Подобие треугольников, коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников) предлагаются во второй части экзаменационной работы и относятся к высокому уровню сложности.

В процессе работы над рефератом стало возможным углубление наших знаний по данной теме. Доказательство теоремы о пропорциональных отрезках в треугольнике (теорема не входит в школьную программу) построено на методе параллельных прямых. В свою очередь, данная теорема позволила предложить еще один способ доказательства теорем Чевы и Менелая. И в итоге мы смогли научиться решать более широкий круг задач на сравнение длин отрезков. В этом и заключается актуальность нашей работы.

Обобщенная теорема Фалеса.

Формулировка:

Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.
Дано:

Прямая а рассечена параллельными прямыми (А 1 В 1 , А 2 В 2 , А 3 В 3 ,…, А n B n ) на отрезки А 1 А 2 , А 2 А 3 , …, A n -1 A n , а прямая b - на отрезки В 1 В 2 , В 2 В 3 , …, В n -1 В n .

Доказать:

Доказательство:

Докажем, например, что

Рассмотрим два случая:

1 случай (рис. б)

Прямые a и b параллельны. Тогда четырехугольники

А 1 А 2 В 2 В 1 и А 2 А 3 В 3 В 2 – параллелограммы. Поэтому

А 1 А 2 = В 1 В 2 и А 2 А 3 =В 2 В 3 , откуда следует, что

2 случай (рис. в)

Прямые a и b не параллельны. Через точку А 1 проведем прямую с , параллельную прямой b . Она пересечет прямые А 2 В 2 и А 3 В 3 в некоторых точках С 2 и С 3 . Треугольники А 1 А 2 С 2 и А 1 А 3 С 3 подобны по двум углам (угол А 1 – общий, углы А 1 А 2 С 2 и А 1 А 3 С 3 равны как соответственные при параллельных прямых А 2 В 2 и А 3 В 3 секущей А 2 А 3 ), поэтому

1+

Или по свойству пропорций

С другой стороны, по доказанному в первом случае имеем А 1 С 2 = В 1 В 2 , С 2 С 3 = В 2 В 3 . Заменяя в пропорции (1) А 1 С 2 на В 1 В 2 и С 2 С 3 на В 2 В 3 , приходим к равенству

что и требовалось доказать.
Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.

На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КС= m : n , BM : MC = p : q . Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О (рис. 124б).

Доказать:

Доказательство:
Через точку М проведем прямую MD (рис. 124а), параллельную ВК . Она пересекает сторону АС в точке D , и согласно обобщению теоремы Фалеса

Пусть АК= mx . Тогда в соответствии с условием задачи КС= nx , а так как KD : DC = p : q , то Снова воспользуемся обобщением теоремы Фалеса:

Аналогично доказывается, что .

Теорема Чевы.
Теорема названа в честь итальянского математика Джованни Чевы, который доказал её в 1678 году.

Формулировка:

Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки С 1 , А 1 и В 1 , то отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Дано:

Треугольник АВС и на его сторонах АВ , ВС и АС отмечены точки С 1 , А 1 и В 1 .

Доказать:

2.отрезки А А 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке.

Доказательство:
1. Пусть отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке О . Докажем, что выполнено равенство (3). По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике 1 имеем:

Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их, получаем

Разделив обе части на правую часть, приходим к равенству (3).

2. Докажем обратное утверждение. Пусть точки С 1 , А 1 и В 1 взяты на сторонах АВ , ВС и СА так, что выполнено равенство (3). Докажем, что отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке. Обозначим буквой О точку пересечения отрезков А А 1 и ВВ 1 и проведем прямую СО . Она пересекает сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим С 2 . Так как отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке, то по доказанному в первом пункте

Итак, имеют место равенства (3) и (4).

Сопоставляя их, приходим к равенству = , которое показывает, что точки C 1 и C 2 делят сторону AB C 1 и C 2 совпадают, и, значит, отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в точке O .

Что и требовалось доказать.
Теорема Менелая.

Формулировка:

Если на сторонах АВ и ВС и продолжении стороны АС (либо на продолжениях сторон АВ, ВС и АС) взяты соответственно точки С 1 , А 1 , В 1 , то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

Дано:

Треугольник АВС и на его сторонах АВ , ВС и АС отмечены точки С 1 , А 1 и В 1 .

Доказать:

2. точки А 1 ,С 1 и В 1 лежат на одной прямой
Доказательство:
1. Пусть точки А 1 ,С 1 и В 1 лежат на одной прямой. Докажем, что выполнено равенство (5). Проведем AD ,BE и CF параллельно прямой В 1 А 1 (точка D лежит на прямой ВС ). Согласно обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Перемножая левые и правые части этих равенств, получаем

т.е. выполнено равенство (5).
2. Докажем обратное утверждение. Пусть точка В 1 взята на продолжении стороны АС , а точки С 1 и А 1 – на сторонах АВ и ВС , причем так, что выполнено равенство (5). Докажем, что точки А 1 ,С 1 и В 1 лежат на одной прямой. Пусть прямая А 1 С 1 пересекает продолжение стороны АС в точке В 2, тогда по доказанному в первом пункте

Сопоставляя (5) и (6), приходим к равенству = , которое показывает, что точки В 1 и В 2 делят сторону АС в одном и том же отношении. Следовательно, точки В 1 и В 2 совпадают, и, значит, точки А 1 ,С 1 и В 1 лежат на одной прямой. Аналогично доказывается обратное утверждение в случае, когда все три точки А 1 ,С 1 и В 1 лежат на продолжениях соответствующих сторон.

Что и требовалось доказать.

Решение задач.

Предлагается рассмотреть ряд задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике. Как было отмечено выше, для определения места расположения нужных в задаче точек существует несколько методов. В своей работе мы остановились на методе параллельных прямых. Теоретической основой данного метода является обобщенная теорема Фалеса, которая позволяет с помощью параллельных прямых переносить известные отношения пропорции с одной стороны угла на вторую его сторону, таким образом, нужно только удобным для решения задачи способом провести эти параллельные прямые.
Рассмотрим конкретные задачи:
Задача №1 В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка М так, что ВМ:МС=3:2. Точка Р делит отрезок АМ в отношении 2:1. Прямая ВР пересекает сторону АС в точке В 1 . В каком отношении точка В 1 делит сторону АС?

Решение : Нужно найти отношение АВ 1:В 1 С, АС искомый отрезок на котором лежит точка В 1 .

Метод параллельных заключается в следующем:

1. 
   рассечь искомый отрезок параллельными прямыми. Одна ВВ 1 уже есть, а вторую МN проведем через точку М, параллельно ВВ 1 .
2. 
   Перенести известное отношение с одной стороны угла на другую его сторону, т.е. рассмотреть углы стороны, которых и рассекаются этими прямыми.

Стороны угла С рассекаются прямыми ВВ 1 и МN и по обобщенной теореме Фалеса заключаем В 1 N =3р , NC=2р. Стороны угла МАС пересекают прямые РВ 1 и МN и делят его стороны в отношении 2:1, следовательно АВ 1:В 1 N=2:1 и значит АВ 1 =2n, В 1 N = n . Так как В 1 N =3р , и В 1 N = n , то 3р= n .

Перейдем к интересующему нас отношению АВ 1:В 1 С= АВ 1:(В 1 N+ NС)= 2n:(3р+2р)=(2*3р):(5р)=6:5.

Ответ: АВ 1:В 1 С = 6:5.

Замечание : Данную задачу можно было решить, используя теорему Менелая. Применив ее к треугольнику АМС. Тогда прямая ВВ 1 пересекает две стороны треугольника в точках В 1 и Р, а продолжение третьей в точке В. Значит применимо равенство: , следовательно
Задача №2 В треугольнике АВС АN – медиана. На стороне АС взята точка М так, что АМ: МС = 1: 3. Отрезки AN и ВМ пересекаются в точке О, а луч СО пересекает АВ в точке К. В каком отношении точка К делит отрезок АВ.

Решение: Нужно найти отношение АК к КВ.

1) Проведем прямую NN 1 параллельную прямой СК и прямую NN 2 параллельную прямой ВМ.

2) Стороны угла АВС пересекаются прямыми СК и NN 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем ВN 1:N 1 K=1:1 или ВN 1 = N 1 K = y .

3) Стороны угла ВСM пересекаются прямыми BM и NN 2 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем CN 2:N 2 M=1:1 или CN 2 = N 2 M=3:2=1,5.

4) Стороны угла NАС пересекаются прямыми BM и NN 2 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем АО: ОN=1:1,5 или АО=m ON=1,5m.

5) Стороны угла ВАN пересекаются прямыми СК и NN 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем АK: KN 1 =1:1,5 или АK=n KN 1 =1,5 n .

6) KN 1 =y=1,5n.

Ответ: АК:КВ=1:3.

Замечание : Данную задачу можно было решить, используя теорему Чевы, применив ее к треугольнику АВС. По условию точки N, М, К лежат на сторонах треугольника АВС и отрезки АN, СК и ВМ пересекаются в одной точке, значит справедливо равенство: , подставим известные отношения, имеем , АК:КВ=1:3.

Задача№3 На стороне ВС треугольника АВС взята точка D такая, что ВD: DC = 2:5, а на стороне АС точка Е такая, что . В каком отношении делятся отрезки ВЕ и АD точкой К их пересечения?
Решение: Нужно найти 1) АК:КD=? 2) ВК:КЕ=?

1) Проведем прямую DD 1 параллельную прямой BE.

2) Стороны угла ВСЕ пересекаются прямыми ВЕ и DD 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем CD 1:D 1 E=5:2 или CD 1 = 5z , D 1 E=2z.

3) По условию АЕ:ЕС=1:2, т.е. АЕ=х, ЕС=2х, но ЕС= CD 1 + D 1 E, значит 2у=5 z +2 z =7 z , z =

4) Стороны угла DСA пересекаются прямыми ВЕ и DD 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем

5) Для определения отношения ВК:КЕ проведем прямую ЕЕ 1 и рассуждая аналогичным образом получим

Ответ: АК:КD=7:4; ВК:КЕ=6:5.
Замечание: Данную задачу можно было решить, используя теорему Менелая. Применив ее к треугольнику ВЕС. Тогда прямая DA пересекает две стороны треугольника в точках D и K, а продолжение третьей в точке A. Значит применимо равенство: , следовательно ВК:КЕ=6:5. Рассуждая аналогично относительно треугольника ADC, получим , АК:КD=7:4.
Задача №4 В ∆ ABC биссектриса AD делит сторону BC в отношении 2: 1. В каком отношении медиана CE делит эту биссектрису?

Решение: Пусть О точка пересечения биссектрисы AD и медианы СЕ. Нужно найти отношение АО:ОD.

1) Проведем прямую DD 1 параллельную прямой СE.

2) Стороны угла АВС пересекаются прямыми СЕ и DD 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем ВD 1:D 1 E=2:1 или ВD 1 = 2p , D 1 E=p.

3) По условию АЕ:ЕB=1:1, т.е. АЕ=y, ЕB=y, но EB= BD 1 + D 1 E, значит у=2 p + p =3 p , p =
4) Стороны угла BAD пересекаются прямыми OЕ и DD 1 и по обобщенной теореме Фалеса заключаем .

Ответ: АО:ОD=3:1.

Задача №5 На сторонах AB и АC ∆ABC даны соответственно точки M и N такие, что выполняются следующие равенства АМ:МВ=С N : NA =1:2. В каком соотношении точка S пересечения отрезков BN и CM делит каждый из этих отрезков .

Задача №6 На медиане АМ треугольника АВС взята точка К, причем АК:КМ=1:3. Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку К параллельно стороне АС, делит сторону ВС.

Решение: Пусть М 1 точка пересечения прямой, проходящая через точку К параллельно стороне АС и стороны ВС. Нужно найти отношение ВМ 1:М 1 С.

1) Стороны угла АМС пересекаются прямыми КМ 1 и АС и по обобщенной теореме Фалеса заключаем ММ 1:М 1 С=3:1 или ММ 1 = 3z, М 1 С=z

2) По условию ВМ:МС=1:1, т.е.ВМ=y, МС=y, но МС= ММ 1 + М 1 С, значит у=3 z + z =4 z ,

3) .

Ответ: ВМ 1:М 1 С =7:1.

Задача №7 Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС за точку С взята точка N , причем С N =АС; точка К- середина стороны АВ. В каком отношении прямая К N делит сторону ВС.

Замечание: Данную задачу можно было решить, используя теорему Менелая. Применив ее к треугольнику АВС. Тогда прямая КN пересекает две стороны треугольника в точках К и K 1 , а продолжение третьей в точке N. Значит применимо равенство: , следовательно ВК 1:К 1 С=2:1.

Задача №8

Сайты:

http://www.problems.ru

http://interneturok.ru/

ЕГЭ 2011 Математика Задача С4 Р.К.Гордин М.: МЦНМО, 2011, - 148 с

Заключение:

Решение задач и теорем на нахождение отношения длин отрезков базируется на обобщенной теореме Фалеса. Мы сформулировали метод, который позволяет, не применяя теорему Фалеса, пользоваться параллельными прямыми, переносить известные пропорции с одной стороны угла на другую сторону и, таким образом, находить место расположения нужных нам точек и сравнивать длины. Работа над рефератом помогла нам научиться решать геометрические задачи высокого уровня сложности. Мы осознали правдивость слов известного русского поэта Игоря Северянина: «Все незначительное нужно, Чтобы значительному быть…» и уверены, что на ЕГЭ мы сможем найти решение предложенным задачам, используя метод параллельных прямых.

1 Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике – вышеописанная теорема.

называется пропорцией . При этом говорят, что:

x 1 относится к x 2 как y 1 относится к y 2 ,

отношение чисел x 1 и x 2 равно отношению чисел y 1 и y 2 ,

числа x 1 и x 2 соотносятся так же, как числа y 1 и y 2 ,

или, наконец,

числа x 1 и y 1 (!) пропорциональны числам x 2 и y 2 (то есть числители пропорциональны знаменателям).

Входящие сюда числа x 1 , x 2 , y 1 и y 2 называются членами пропорции. Обычно все они положительны, но это необязательно. Предполагается, однако, что ни одно из них не равно нулю. Особого названия это равенство удостоилось по той причине, что оно часто встречается при решении разных математических задач.

Пропорции можно преобразовывать, перенося члены «с верху» одной части равенства «в низ» другой части равенства и наоборот. Эту процедуру легко обосновать следующим образом. Допустим мы хотим перенести x 1 из левой части в правую. Для этого умножим обе части пропорции на 1/x 1:

то есть переменная x 1 у нас переместилась «по диагонали сверху вниз». Перенесем теперь «влево наверх» переменную y 2 . Это достигается умножением на нее обеих частей данного равенства. В результате имеем

числители x 1 и y 1 соотносятся между собой точно так же, как и соответствующие им знаменатели x 2 и y 2 .

Обобщенная теорема Фалеса

Теорема Фалеса, рассмотренная в прошлый раз, допускает следующее обобщение.

Пусть две произвольные прямые x и y пересекаются тремя параллельными прямыми n 1 , n 2 и n 3 в точках X 1 , X 2 , X 3 и Y 1 , Y 2 , Y 3 , как показано на рисунке:

Тогда длины отсекаемых отрезков образуют следующую пропорцию

представляет собой рациональное число, то есть может быть выражено в виде несократимой дроби

|X 1 X 2 |
|X 1 X 3 |

где a и b - некоторые натуральные числа, a < b . Разобьем отрезок X 1 X 3 на b одинаковых частей. (При этом точка X 2 окажется одной из точек деления.) Проведем через каждую точку деления прямые, параллельные n 1 , n 2 и n 3 . (Одна из этих прямых совпадет с прямой n 2 .)

По теореме Фалеса (в ее первоначальном варианте), отрезок Y 1 Y 3 также делится этими прямыми на b равных частей, из которых a частей составляют отрезок Y 1 Y 2 . Следовательно,

|Y 1 Y 2 |				|X 1 X 2 |
|Y 1 Y 3 |		b		|X 1 X 3 |

что и требовалось доказать. Из нашего построения следует также, что

|Y 2 Y 3 |				|X 2 X 3 |
|Y 1 Y 3 |		b		|X 1 X 3 |

|Y 2 Y 3 |				|X 2 X 3 |
|Y 1 Y 2 |		a		|X 1 X 2 |

Пользуясь свойствами пропорций, эти равенства можно переписать в виде одной цепочки:

|Y 1 Y 2 |		|Y 2 Y 3 |		|Y 1 Y 3 |
|X 1 X 2 |		|X 2 X 3 |		|X 1 X 3 |

Таким образом, отрезки отсекаемые на прямой y пропорциональны соответствующим отрезкам на прямой x .

Теоретически возможна также ситуация, когда отношение длин

|X 1 X 2 |

|X 1 X 3 |

не является рациональным числом, поскольку длины отрезков |X 1 X 2 | и |X 1 X 3 | могут, в принципе, выражаться иррациональными числами. Однако на практике такой случай никогда не встречается. Для определения длин отрезков мы всегда пользуемся каким-либо измерительным прибором (например, школьной линейкой), который выдает лишь округленные результаты в виде конечной десятичной дроби.

Важное следствие

Пусть даны несовпадающие прямые x и y , которые пересекаются в точке O, и еще - две параллельные прямые n 1 и n 2 , которые пересекают прямую x в точках X 1 и X 2 и прямую y в точках Y 1 и Y 2 , как показано на рисунке.

Введем обозначения:

x 1 = |OX 1 |, x 2 = |OX 2 |;

y 1 = |OY 1 |, y 2 = |OY 2 |;

z 1 = |X 1 Y 1 |, z 2 = |X 2 Y 2 |.

		y 1
		y 2

Действительно, оба равенства в этой цепочке непосредственно следует из обобщенной теоремы Фалеса. Для первого равенства это ясно сразу, а для второго это становится очевидным после того, как мы через точку Y 1 проведем прямую m , параллельную прямой x .

Верно и обратное утверждение. Пусть дана та же геометрическая конструкция и известно, что

Тогда прямые n 1 и n 2 параллельны. В самом деле, проведем через точку X 1 вспомогательную прямую, параллельную прямой n 2 . По обобщенной теореме Фалеса, эта вспомогательная прямая проходит через точку Y 1 . Следовательно, она совпадает с прямой n 1 . Таким образом, прямая n 1 параллельна прямой n 2 .

Масштаб

Выйдем на улицу, прихватив с собой лист бумаги и карандаш. Расположим наш лист горизонтально и поставим на нем приблизительно посередине точку O. Из этой точки проведем мысленно лучи в направлении различных примечательных точек на местности, расположенных в радиусе примерно ста метров, - деревьев, столбов, углов зданий и того подобного.

Допустим, у нас есть возможность измерить расстояния до этих примечательных точек. Пусть, например, расстояние до ближайшего дерева равно 10 м. Мысленно отложим от точки O в направлении этого дерева отрезок, длина которого в 1000 раз меньше данного расстояния, и отметим карандашом на бумаге положение второго его конца. Нетрудно рассчитать, что расстояние от точки O до отметки составит 10 м/1000 = 1 см.

Подобным же образом, пусть расстояние до какого-то другого примечательного объекта равно x 1 . Умножим это расстояние на число k , равное 1/1000. Мысленно отложим от точки O отрезок длиной x 2 = kx 1 вдоль луча, направленного на данный объект. В том месте на бумаге, где находится второй конец отрезка, сделаем отметку карандашом. Проделаем такую процедуру со всеми примечательными точками на местности, используя всё время одно и то же значение параметра k . Если какие-либо из этих точек соединены между собой забором или стеной или же чем-то подобным, то между соответствующими метками на бумаге также проведем линии.

В результате на нашем листе бумаги получится карта местности. В силу теоремы Фалеса и свойств пропорций, все соотношения между расстояниями на бумаге будут в точности такими же, как и в действительности. Более того, все линии на бумаге окажутся параллельны соответствующим линиям на местности. Эта параллельность, конечно, нарушится, когда мы унесем наш лист куда-нибудь в другое место, однако углы между линиями сохранятся.

Параметр k , который мы использовали в нашем построении, называется масштабным коэффициентом или просто масштабом . Разумеется, он необязательно должен быть равен 1/1000. Он может, в принципе, принимать любое значение, важно лишь, чтобы это значение оставалось всё время неизменным в процессе построения карты.

На настоящих географических картах масштаб обязательно указывается в легенде, при этом вместо дробной черты обычно используется двоеточие. Например, масштаб 1:100 000 означает, что один сантиметр на карте соответствует 100000 сантиметрам (то есть одному километру) на местности.

Технические чертежи также всегда выполняются, как говорят, в определенном масштабе. Масштаб 1:1 означает, что деталь начерчена в натуральную величину. А масштаб 10:1 говорит о том, что чертеж выполнен с десятикратным увеличением.

Замечание о параллельных прямых

Мы назвали параллельными такие несовпадающие прямые, угол между которыми равен нулю. Мы отметили, что такие прямые нигде не пересекаются. Докажем теперь, что если прямые лежат в одной плоскости и не параллельны (то есть угол между ними отличен от нуля), то тогда они обязательно где-нибудь пересекутся.

Пусть на плоскости даны две прямые - x и n . Отметим на них произвольные точки - O и Y - и проведем через эти точки третью прямую - y . Если исходить из того, что угол между прямыми x и n не равен нулю, то смежные углы должны оказаться не равны друг другу. Пусть для определенности α 1 > α 2 , как показано на рисунке.

Проведем через точку O прямую n 1 , параллельную прямой n . Отметим на ней со стороны угла α 1 произвольную точку N 1 и проведем через эту точку прямую y 1 , параллельную прямой y . При этом образуется параллелограмм, обозначенный на рисунке серым фоном.

Это значит, что прямая y 1 пересекает прямую n в некоторой точке, которую мы обозначим через N . Прямая x , заходя на «территорию» параллелограмма в точке O , обязательно должна где-то оттуда выйти. Она может это сделать либо через отрезок YN , либо через отрезок N 1 N . В первом случае сразу становится очевидно, что прямая x пересекает прямую n . Рассмотрим второй случай. Обозначим точку пересечения прямой x и отрезка N 1 N через X 1 . Проведем через нее прямую n 2 , параллельную прямой n . Эта прямая разбивает параллелограмм ON 1 NY на два новых параллелограмма и пересекает прямую y в некоторой точке Y 1 . Отметим на прямой x такую точку X , для которой выполняется соотношение

|O Y 1 |

Проведем через точки X и Y прямую. Согласно рассмотренному выше следствию из теоремы Фалеса, эта прямая параллельна прямой n 2 , а значит, образует нулевой угол с прямой n . Следовательно, новая прямая совпадает с прямой n , которая, таким образом, пересекает прямую x в точке X .

Мы теперь можем утверждать, что следующие три утверждения о несовпадающих прямых a и b , лежащих в одной плоскости, означают в точности одно и то же:

(1) Угол между прямыми a и b равен нулю.

(2) Прямые a и b нигде не пересекаются.

(3) Прямые a и b параллельны.

В традиционных курсах геометрии определением параллельности прямых служит утверждение 2. Мы выбрали для этих целей утверждение 1. Ведь гораздо проще определить угол между двумя прямыми, чем удостовериться, что они нигде не пересекаются на всём своем бесконечном протяжении.

Конспект

1. Равенство вида x 1 /x 2 = y 1 /y 2 называется пропорцией. Числители пропорциональны знаменателям. Числитель и знаменатель одной дроби соотносятся так же, как числитель и знаменатель другой дроби. Эквивалентное равенство: x 1 /y 1 = x 2 /y 2 .

2. Обобщенная теорема Фалеса . Пусть две произвольные прямые a и b пересекаются тремя параллельными прямыми. Тогда отрезки, отсекаемые на прямой a , пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на прямой b .

3. Следствие 1 . Пусть стороны угла с вершиной в точке O пересекаются двумя параллельными прямыми n 1 и n 2 . Тогда отрезки, отсекаемые на прямых n 1 и n 2 , соотносятся так же, как отрезки, отложенные на любой из сторон угла от точки O до соответствующих точек пересечения с прямыми n 1 и n 2 .

4. Следствие 2 . Пусть на сторонах угла отложены от вершины отрезки таким образом, что отрезки на одной стороне пропорциональны отрезкам на другой. Тогда прямые, проходящие через соответствующие концы этих отрезков, параллельны друг другу.

5. На карте сохраняются все соотношения между расстояниями и все углы. Отношение расстояния между некоторыми двумя точками на карте к расстоянию между соответствующими точками на местности не зависит от выбора точек и называется масштабом.

6. Если угол между двумя прямыми, лежащими в одной плоскости, не равен нулю, то такие прямые обязательно пересекаются.

Тема урока

Цели урока

• Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
• Сформулировать и доказать свойства квадрата, доказать его свойства.
• Научиться применять свойства фигур при решении задач.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

1. Историческая справка.
2. Фалес как математик и его труды.
3. Полезно вспомнить.

Историческая справка

• Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.

• Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла.

• Основы геометрии Фалес постигал в Египте.

Открытия и заслуги ее автора

А известно ли вам, что Фалес Милетский был одним из семи самых известных по тем временам, мудрецом Греции. Он основал Ионийскую школу. Идею, которую продвигал Фалес в этой школе, было единство всего сущего. Мудрец считал, что есть единое начало, от которого произошли все вещи.

Огромной заслугой Фалеса Милетского является создание научной геометрии. Этот великий учений сумел с египетского искусства измерения создать дедуктивную геометрию, базой которой есть общие основания.

Кроме огромных познаний в геометрии, Фалес еще и неплохо разбирался в астрономии. Эму первому удалось предсказать полное затмение Солнца. А ведь это происходило не в современном мире, а в далеком 585 году, еще до нашей эры.

Фалес Милетский был тем человеком, который сообразил, что север можно точно определить по созвездию Малой Медведицы. Но и это не было его последним открытием, так как он сумел в точности определить продолжительность года, разбить его на триста шестьдесят пять дней, а также установил время равноденствий.

Фалес на самом деле был всесторонне развитым и мудрым человеком. Кроме того, что он славился как прекрасный математик, физик, астроном, он еще и как настоящий метеоролог, смог довольно точно предсказать урожай оливок.

Но самое примечательное то, что Фалес никогда не ограничивался в своих познаниях только научно-теоретической областью, а всегда пытался закрепить доказательства своих теорий на практике. И самое интересное, то, что великий мудрец не сосредотачивался на какой-то одной области своих познаний, его интерес имел различные направленности.

Имя Фалеса стало нарицательным для мудреца уже тогда. Его важность и значимость для Греции была так велика, как для России имя Ломоносова. Конечно, его мудрость можно толковать по-разному. Но точно можно сказать, что ему были присущи и изобретательность, и практическая смекалка, и в какой-то степени отрешенность.

Фалес Милетский был отличным математиком, философом, астрономом, любил путешествовать, был купцом и предпринимателем, занимался торговлей, а также был неплохим инженером, дипломатом, провидцем и активно участвовал в политической жизни.

Он даже умудрился с помощью посоха и тени определить высоту пирамиды. А было это так. В один погожий солнечный день Фалес поставил свой посох на границе, где заканчивалась тень от пирамиды. Далее он дождался, когда длинна от тени его посоха сравнялась с его высотой, и замерил длину тени пирамиды. Вот так, казалось бы просто Фалес определил высоту пирамиды и доказал, что длина одной тени имеет отношение к длине другой тени, также, как и высота пирамиды относится к высоте посоха. Чем и поразил самого фараона Амасиса.

Благодаря Фалесу все известные в то время знания были переведены в область научного интереса. Он смог донести результаты до уровня, пригодного для научного потребления, выделив определенный комплекс понятий. И возможно с помощью Фалеса началось последующее развитие античной философии.

Теорема Фалеса играет одну важных ролей в математике. Она была известна не только в Древнем Египте и Вавилоне, но и в других странах и являлась почвой для развития математики. Да и в повседневной жизни, при строительстве зданий, сооружений, дорог и т.д., без теоремы Фалеса не обойтись.

Теорема Фалеса в культуре

Теорема Фалеса прославилась не только в математике, но ее приобщили еще и к культуре. Однажды аргентинская музыкальная группа Les Luthiers (исп.) на суд зрителей представила песню, которую посвятила известной теореме. Участники Les Luthiers в своем видеоклипе специально для этой песни предоставили доказательства для прямой теоремы для пропорциональных отрезков.

Вопросы

1. Какие прямые называются параллельными?
2. Где практически применяется теорема Фалеса?
3. О чем гласит теорема Фалеса?

Список использованных источников

1. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика/Глав.ред.М.Д.Аксенова.-м.:Аванта+,2001.
2. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
3. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»

Предмети > Математика > Математика 8 класс