Täisnurga alt tõmmatud mediaan. Täisnurkse kolmnurga mediaani omadused

Mediaan on lõik, mis on tõmmatud kolmnurga tipust vastaskülje keskele, st jagab selle lõikepunktiga pooleks. Punkti, kus mediaan lõikub vastasküljega, kust see väljub, nimetatakse baasiks. Läbi ühe punkti, mida nimetatakse lõikepunktiks, läbib kolmnurga iga mediaan. Selle pikkuse valemit saab väljendada mitmel viisil.

Mediaani pikkuse väljendamise valemid

• Sageli peavad õpilased geomeetria ülesannetes tegelema sellise lõiguga nagu kolmnurga mediaan. Selle pikkuse valem on väljendatud külgede kaudu:

kus a, b ja c on küljed. Lisaks on c külg, millele mediaan langeb. Nii näeb välja kõige lihtsam valem. Mõnikord on abiarvutuste jaoks vaja kolmnurga mediaane. On ka teisi valemeid.

• Kui arvutuse käigus on teada kolmnurga kaks külge ja nende vahele jääv teatud nurk α, siis väljendatakse kolmnurga mediaani pikkust, mis on langetatud kolmandale küljele, järgmiselt.

Põhiomadused

• Kõigil mediaanidel on üks ühine lõikepunkt O ja sellega jagatakse ka suhtega kaks ühele, kui lugeda ülevalt. Seda punkti nimetatakse kolmnurga raskuskeskmeks.
• Mediaan jagab kolmnurga kaheks teiseks, mille pindalad on võrdsed. Selliseid kolmnurki nimetatakse võrdseteks kolmnurkadeks.
• Kui joonistada kõik mediaanid, jagatakse kolmnurk 6 võrdseks kujundiks, mis on samuti kolmnurgad.
• Kui kolmnurga kõik kolm külge on võrdsed, on selles iga mediaan ka kõrgus ja poolitaja, st risti selle küljega, millele see on tõmmatud, ja poolitab nurga, millest see väljub.
• Võrdhaarses kolmnurgas on mediaan, mis langeb ühegi teise külje vastas olevast tipust, kõrguseks ja poolitajaks. Teistest tippudest langenud mediaanid on võrdsed. See on ka võrdhaarsete jaoks vajalik ja piisav tingimus.
• Kui kolmnurk on alus õige püramiid, siis projitseeritakse antud alusele langenud kõrgus kõigi mediaanide lõikepunkti.

• Täisnurkses kolmnurgas on mediaan tõmmatud suurim külg võrdub poole pikkusega.
• Olgu O kolmnurga mediaanide lõikepunkt. Allolev valem kehtib iga punkti M kohta.

• Teine omadus on kolmnurga mediaan. Selle pikkuse ruudu valem külgede ruutude järgi on esitatud allpool.

Nende külgede omadused, millele mediaan on tõmmatud

• Kui ühendate mis tahes kaks mediaanide lõikepunkti külgedega, millel need on langetatud, on saadud segment kolmnurga keskjoon ja pool selle kolmnurga küljest, millega sellel pole ühiseid punkte.
• Samal ringil asuvad kolmnurga kõrguste ja mediaanide alused, samuti kolmnurga tippe kõrguste lõikepunktiga ühendavate lõikude keskpunktid.

Kokkuvõttes on loogiline öelda, et üks olulisemaid segmente on just kolmnurga mediaan. Selle valemit saab kasutada selle teiste külgede pikkuste leidmiseks.

Teemat uurides koolikursus on võimalik valida teatud miinimum ülesandeid, mille lahendamise meetodid omandades saavad õpilased lahendada mis tahes ülesande õpitava teema programminõuete tasemel. Teen ettepaneku kaaluda ülesandeid, mis võimaldavad teil näha kooli matemaatikakursuse üksikute teemade vahelisi seoseid. Seetõttu on koostatud ülesannete süsteem tõhus vahend kordamine, üldistamine ja süstematiseerimine õppematerjalõpilaste eksamiks ettevalmistamisel.

Eksami sooritamiseks ei ole lisateave mõne kolmnurga elemendi kohta üleliigne. Mõelge kolmnurga mediaani omadustele ja probleemidele, milles neid omadusi saab kasutada. Kavandatud ülesanded rakendavad tasemete eristamise põhimõtet. Kõik ülesanded on tinglikult jagatud tasemeteks (tase on märgitud iga ülesande järel sulgudes).

Tuletage meelde kolmnurga mediaani mõningaid omadusi

Vara 1. Tõesta, et kolmnurga mediaan ABC tõmmatud ülevalt A, vähem kui pool külgede summast AB ja AC.

Tõestus

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="(!LANG:$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Vara 2. Mediaan lõikab kolmnurga kaheks võrdseks alaks.

Tõestus

Joonistage kolmnurga ABC tipust B mediaan BD ja kõrgus BE..gif" alt="(!LANG:Area" width="82" height="46">!}

Kuna segment BD on mediaan, siis

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="(!LANG:Mediaan" align="left" width="196" height="75 src=">!} Vara 4. Kolmnurga mediaanid jagavad kolmnurga 6 võrdse pindalaga kolmnurgaks.

Tõestus

Tõestame, et iga kuue kolmnurga pindala, milleks mediaanid jagavad kolmnurga ABC, on võrdne kolmnurga ABC pindalaga. Selleks vaadeldakse näiteks kolmnurka AOF ja langetatakse risti AK tipust A sirgele BF .

Vara 2 tõttu

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="(!LANG:Mediaan" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Vara 6. Mediaan tipust tõmmatud täisnurkses kolmnurgas täisnurk võrdne poolega hüpotenuusist.

Tõestus

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="(!LANG:Mediaan" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Tagajärjed:1. Keskust kirjeldati umbes täisnurkne kolmnurk ring asub hüpotenuusi keskpunktis.

2. Kui kolmnurga mediaani pikkus võrdub poolega selle külje pikkusest, kuhu see on tõmmatud, siis on see kolmnurk täisnurkne kolmnurk.

ÜLESANDED

Iga järgneva probleemi lahendamisel kasutatakse tõestatud omadusi.

№1 Teemad: Mediaani kahekordistamine. Raskusaste: 2+

Rööpküliku tunnused ja omadused Klassid: 8,9

Seisund

Mediaani jätkumisel OLEN kolmnurk ABC punkti kohta M segment edasi lükatud MD, võrdne OLEN. Tõesta, et nelinurk ABDC- rööpkülik.

Lahendus

Kasutame üht rööpküliku märki. Nelinurga diagonaalid ABDC ristuvad punktis M ja jaga see pooleks, nii et nelinurk ABDC- rööpkülik.

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmete analüüs ja erinevaid uuringuid meie pakutavate teenuste täiustamiseks ja teile meie teenuste kohta soovituste andmiseks.
• Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtulik kord, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või riigiasutuste taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

Kolmnurk on kolme küljega hulknurk või kolme lüliga suletud katkendjoon või kujund, mis on moodustatud kolmest lõigust, mis ühendavad kolme punkti, mis ei asu ühel sirgel (vt joonis 1).

Kolmnurga abc põhielemendid

Tipud – punktid A, B ja C;

Peod – tippe ühendavad lõigud a = BC, b = AC ja c = AB;

nurgad – α , β, γ, mille moodustavad kolm külgede paari. Nurgad on sageli märgistatud samamoodi nagu tipud, tähtedega A, B ja C.

Kolmnurga külgede poolt moodustatud ja selle sees asuvat nurka nimetatakse sisenurgaks ja sellega külgnevat nurka kolmnurga külgnevaks nurgaks (2, lk 534).

Kolmnurga kõrgused, mediaanid, poolitajad ja keskjooned

Lisaks kolmnurga põhielementidele võetakse arvesse ka teisi segmente, millel on huvitavad omadused: kõrgused, mediaanid, poolitajad ja keskjooned.

Kõrgus

Kolmnurga kõrgused on kolmnurga tippudest vastaskülgedele langetatud ristid.

Kõrguse ehitamiseks tehke järgmist.

1) tõmmake sirgjoon, mis sisaldab kolmnurga ühte külge (kui kõrgus on tõmmatud nüri kolmnurga teravnurga tipust);

2) tõmmake tõmmatud joone vastas asuvast tipust punktist sellele sirgele lõik, moodustades sellega 90-kraadise nurga.

Kõrguse ja kolmnurga külje lõikepunkti nimetatakse kõrguse alus (vt joonis 2).

Kolmnurga kõrguse omadused

Täisnurkses kolmnurgas jagab täisnurga tipust tõmmatud kõrgus selle kaheks algse kolmnurgaga sarnaseks kolmnurgaks.

Teravas kolmnurgas lõikavad selle kaks kõrgust sellest sarnased kolmnurgad.

Kui kolmnurk on teravnurkne, siis kõik kõrguste alused kuuluvad kolmnurga külgedele ja nüri kolmnurga puhul langeb külgede pikendusele kaks kõrgust.

Kolm terava kolmnurga kõrgust lõikuvad ühes punktis ja seda punkti nimetatakse ortotsenter kolmnurk.

Mediaan

mediaanid(ladina keelest mediana - "keskmine") - need on segmendid, mis ühendavad kolmnurga tippe vastaskülgede keskpunktidega (vt joonis 3).

Mediaani koostamiseks tehke järgmist.

1) leida külje keskosa;

2) ühenda lõiguga punkt, mis on kolmnurga külje keskpunkt, vastastipuga.

Kolmnurga mediaanomadused

Mediaan jagab kolmnurga kaheks sama ala kolmnurgaks.

Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis jagab need ülevalt lugedes suhtega 2:1. Seda punkti nimetatakse raskuskese kolmnurk.

Kogu kolmnurk jagatakse selle mediaanide järgi kuueks võrdseks kolmnurgaks.

Poolitaja

poolitajad(Lat. bis - kaks korda "ja seko - ma lõikan") nimetavad kolmnurga sees olevaid sirgjoonte lõike, mis poolitavad selle nurki (vt joonis 4).

Poolitaja konstrueerimiseks peate tegema järgmised toimingud:

1) konstrueerida nurga tipust väljuv kiir, mis jagab selle kaheks võrdseks osaks (nurgapoolitaja);

2) leida kolmnurga nurga poolitaja lõikepunkt vastasküljega;

3) vali lõik, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje lõikepunktiga.

Kolmnurga poolitaja omadused

Kolmnurga nurgapoolitaja jagab vastaskülje suhtega, mis on võrdne kahe külgneva külje suhtega.

Kolmnurga sisenurkade poolitajad lõikuvad ühes punktis. Seda punkti nimetatakse sisse kirjutatud ringi keskpunktiks.

Sise- ja välisnurga poolitajad on risti.

Kui kolmnurga välisnurga poolitaja lõikub vastaskülje jätkuga, siis ADBD=ACBC.

Kolmnurga ühe sise- ja kahe välisnurga poolitajad ristuvad ühes punktis. See punkt on selle kolmnurga ühe kolmest ringjoonest keskpunkt.

Kolmnurga kahe sise- ja ühe välisnurga poolitajate alused asuvad samal sirgel, kui välisnurga poolitaja ei ole paralleelne kolmnurga vastasküljega.

Kui kolmnurga välisnurkade poolitajad ei ole paralleelsed vastaskülgedega, siis asuvad nende alused samal sirgel.

1. Mediaan jagab kolmnurga kaheks sama pindalaga kolmnurgaks.

2. Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis jagab need ülevalt lugedes suhtega 2:1. Seda punkti nimetatakse raskuskese kolmnurk.

3. Terve kolmnurk jagatakse mediaanide järgi kuueks võrdseks kolmnurgaks.

Kolmnurga poolitaja omadused

1. Nurga poolitaja on selle nurga külgedest võrdsel kaugusel asuvate punktide asukoht.

2. Kolmnurga sisenurga poolitaja jagab vastaskülje külgnevate külgedega võrdelisteks lõikudeks: .

3. Kolmnurga poolitajate lõikepunkt on sellesse kolmnurka kantud ringi keskpunkt.

Kolmnurga kõrguse omadused

1. Täisnurga tipust tõmmatud kõrgus jagab täisnurga kolmnurga kaheks algse kolmnurgaga sarnaseks.

2. Teravkolmnurgas lõikavad selle kaks kõrgust sarnaselt ära kolmnurgad.

Kolmnurga risti poolitajate omadused

1. Lõiguga risti poolitaja iga punkt on selle lõigu otstest võrdsel kaugusel. Tõene on ka vastupidine väide: iga lõigu otstest võrdsel kaugusel asuv punkt asub sellega risti poolitajal.

2. Kolmnurga külgedele tõmmatud keskperpendikulaaride lõikepunkt on selle kolmnurga ümber piiratud ringjoone keskpunkt.

Kolmnurga keskjoone omadus

Kolmnurga keskjoon on paralleelne selle ühe küljega ja võrdne poolega sellest küljest.

kolmnurkade sarnasus

Kaks kolmnurka on sarnased kui üks järgmistest tingimustest on täidetud, kutsutakse sarnasuse märgid:

ühe kolmnurga kaks nurka on võrdsed teise kolmnurga kahe nurgaga;

ühe kolmnurga kaks külge on võrdelised teise kolmnurga kahe küljega ja nende külgede moodustatud nurgad on võrdsed;

Ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdelised teise kolmnurga kolme küljega.

Sarnastes kolmnurkades on vastavad sirged (kõrgused, mediaanid, poolitajad jne) võrdelised.

Siinuse teoreem

Koosinusteoreem

a 2= b 2+ c 2- 2eKr cos

Kolmnurga pindala valemid

1. Suvaline kolmnurk

a, b, c - küljed; - nurk külgede vahel a ja b; - poolperimeeter; R- piiritletud ringi raadius; r- sisse kirjutatud ringi raadius; S- ruut; h a - kõrgusele tõmmatud pool a.

S = ah a

S = ab sin

S = pr

2. Täisnurkne kolmnurk

a, b- jalad; c- hüpotenuus; hc - kõrgus küljele c.

S = ch c S = ab

3. Võrdkülgne kolmnurk

Nelinurgad

Parallelogrammi omadused

Vastasküljed on võrdsed

Vastasnurgad on võrdsed

lõikepunkti diagonaalid jagatakse pooleks;

ühe küljega külgnevate nurkade summa on 180°;

Diagonaalide ruutude summa on võrdne kõigi külgede ruutude summaga:

d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2).

Nelinurk on rööpkülik, kui:

1. Selle kaks vastaskülge on võrdsed ja paralleelsed.

2. Vastasküljed on paarides võrdsed.

3. Vastasnurgad on paarides võrdsed.

4. Lõikepunkti diagonaalid jagatakse pooleks.

Trapetsi omadused

· teda keskmine joon paralleelsed alustega ja võrdne nende poolsummaga;

kui trapets on võrdhaarne, siis on selle diagonaalid võrdsed ja nurgad aluses võrdsed;

kui trapets on võrdhaarne, siis saab selle ümber piirata ringi;

Kui aluste summa on võrdne külgede summaga, siis saab sellesse kirjutada ringi.

Ristküliku omadused

diagonaalid on võrdsed.

Rööpkülik on ristkülik, kui:

1. Üks selle nurkadest on õige.

2. Selle diagonaalid on võrdsed.

Rombi omadused

rööpküliku kõik omadused;

Diagonaalid on risti

diagonaalid on selle nurkade poolitajad.

1. Rööpkülik on romb, kui:

2. Selle kaks külgnevat külge on võrdsed.

3. Selle diagonaalid on risti.

4. Üks diagonaalidest on selle nurga poolitaja.

Ruudu omadused

Kõik väljaku nurgad on õiged

Ruudu diagonaalid on võrdsed, üksteisega risti, lõikepunkt jagatakse pooleks ja ruudu nurgad pooleks.

Ristkülik on ruut, kui sellel on mõni rombi tunnus.

Põhivalemid

1. Suvaline kumer nelinurk
d1,d2- diagonaalid; - nendevaheline nurk; S- ruut.

S=d 1 d 2 patt