जटिल संख्याओं का क्षेत्र। जटिल संख्याओं पर संचालन

जटिल संख्या जेड बुलाया अभिव्यक्ति, कहाँ एकतथा में- वास्तविक संख्या, मैंएक काल्पनिक इकाई या एक विशेष संकेत है।

निम्नलिखित समझौतों का पालन किया जाता है:

1) अभिव्यक्ति ए + द्वि के साथ, अंकगणितीय संचालन उन नियमों के अनुसार किया जा सकता है जो बीजगणित में शाब्दिक अभिव्यक्तियों के लिए स्वीकार किए जाते हैं;

5) समानता a+bi=c+di, जहां a, b, c, d वास्तविक संख्याएं हैं, अगर और केवल अगर a=c और b=d होता है।

संख्या 0+bi=bi कहलाती है काल्पनिकया विशुद्ध रूप से काल्पनिक.

कोई भी वास्तविक संख्या a सम्मिश्र संख्या की एक विशेष स्थिति होती है, क्योंकि इसे a=a+ 0i के रूप में लिखा जा सकता है। विशेष रूप से, 0=0+0i, लेकिन फिर यदि a+bi=0, तो a+bi=0+0i, इसलिए a=b=0।

इस प्रकार, एक जटिल संख्या a+bi=0 अगर और केवल अगर a=0 और b=0।

सम्मिश्र संख्याओं के रूपांतरण के नियम परिपाटी से अनुसरण करते हैं:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;

हम देखते हैं कि सम्मिश्र संख्याओं का योग, अंतर, गुणनफल और भागफल (जहाँ भाजक शून्य के बराबर नहीं है) एक सम्मिश्र संख्या है।

संख्या एकबुलाया एक जटिल संख्या का वास्तविक हिस्सा जेड(निरूपित) मेंसम्मिश्र संख्या z का काल्पनिक भाग है (द्वारा निरूपित)।

शून्य वास्तविक भाग वाली एक सम्मिश्र संख्या z कहलाती है। विशुद्ध रूप से काल्पनिक, शून्य काल्पनिक के साथ - विशुद्ध रूप से वास्तविक।

दो सम्मिश्र संख्याएँ कहलाती हैं। बराबर,यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हों।

दो सम्मिश्र संख्याएँ कहलाती हैं। संयुग्मितअगर उनके पास पदार्थ हैं। भाग संयोग करते हैं, और काल्पनिक संकेतों में भिन्न होते हैं। , फिर इसका संयुग्मी ।

संयुग्म संख्याओं का योग पदार्थों की संख्या है, और अंतर विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या है। सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय पर, संख्याओं के गुणन और जोड़ की संक्रियाएँ स्वाभाविक रूप से परिभाषित होती हैं। अर्थात्, यदि और दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो योग है: ; काम: ।

अब हम घटाव और भाग की संक्रियाओं को परिभाषित करते हैं।

ध्यान दें कि दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल पदार्थों की संख्या होती है।

(क्योंकि मैं = -1)। इस नंबर को कहा जाता है मॉड्यूल वर्गनंबर। इस प्रकार, यदि कोई संख्या है, तो उसका मापांक एक वास्तविक संख्या है।

वास्तविक संख्याओं के विपरीत, जटिल संख्याओं के लिए "अधिक", "कम" की अवधारणा पेश नहीं की जाती है।

जटिल संख्याओं का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व। वास्तविक संख्याएँ संख्या रेखा पर बिंदुओं द्वारा दर्शाई जाती हैं:

यहाँ बिंदु है एमतलब नंबर -3, डॉट बीनंबर 2 है, और हे- शून्य। इसके विपरीत, सम्मिश्र संख्याओं को निर्देशांक तल पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। इसके लिए, हम दोनों अक्षों पर समान पैमानों के साथ आयताकार (कार्तीय) निर्देशांक चुनते हैं। फिर जटिल संख्या ए + द्विडॉट द्वारा दर्शाया जाएगा भुज a और कोटि b के साथ P(चावल।)। इस समन्वय प्रणाली को कहा जाता है जटिल विमान.

मापांकजटिल संख्या को वेक्टर की लंबाई कहा जाता है सेशन, निर्देशांक पर एक जटिल संख्या का चित्रण ( एकीकृत) विमान। जटिल संख्या मापांक ए + द्विद्वारा चिह्नित | ए + द्वि| या पत्र आरऔर इसके बराबर है:

संयुग्मी सम्मिश्र संख्याओं का मापांक समान होता है। __

बहससम्मिश्र संख्या अक्ष के बीच का कोण है बैलऔर वेक्टर सेशनइस जटिल संख्या का प्रतिनिधित्व। अत: तन = बी / एक .

जटिल संख्या का त्रिकोणमितीय रूप. एक सम्मिश्र संख्या को बीजगणितीय रूप में लिखने के साथ-साथ एक अन्य का भी प्रयोग किया जाता है, जिसे कहते हैं त्रिकोणमितीय.

मान लीजिए जटिल संख्या z=a+bi को सदिश ОА द्वारा निर्देशांक (a,b) के साथ दर्शाया जाता है। आइए OA सदिश की लंबाई को r: r=|OA| के रूप में निरूपित करें, और वह कोण जो यह कोण φ के माध्यम से Ox अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाता है।

फ़ंक्शन sinφ=b/r, cosφ=a/r, सम्मिश्र संख्या z=a+bi की परिभाषाओं का उपयोग करके z=r(cosφ+i*sinφ) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां , और कोण φ से निर्धारित किया जाता है शर्तें

त्रिकोणमितीय रूपसम्मिश्र संख्या z, z=r(cosφ+i*sinφ) के रूप में इसका प्रतिनिधित्व है, जहाँ r और φ वास्तविक संख्याएँ हैं और r≥0।

दरअसल, नंबर आर कहा जाता है मापांकसम्मिश्र संख्या और |z| द्वारा निरूपित किया जाता है, और कोण φ सम्मिश्र संख्या z के तर्क द्वारा निरूपित किया जाता है। एक जटिल संख्या z का तर्क φ Arg z द्वारा निरूपित किया जाता है।

त्रिकोणमितीय रूप में दर्शाए गए जटिल संख्याओं के साथ संचालन:

यह प्रसिद्ध है मोइवर सूत्र।

8 ।सदिश स्थल। वेक्टर रिक्त स्थान के उदाहरण और सरल गुण। वैक्टर की प्रणाली की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता। वैक्टर की परिमित प्रणाली का आधार और रैंक

सदिश स्थल -गणितीय अवधारणा जो सामान्य त्रि-आयामी अंतरिक्ष के सभी (मुक्त) वैक्टरों की कुलता की अवधारणा को सामान्यीकृत करती है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वैक्टर के लिए, वैक्टर जोड़ने और उन्हें वास्तविक संख्याओं से गुणा करने के नियम दिए गए हैं। किसी भी वैक्टर पर लागू एक्स, वाई, जेडऔर कोई संख्या α, β ये नियम संतुष्ट करते हैं निम्नलिखित शर्तें:

1) एक्स+पर=पर+एक्स(जोड़ की क्रमविनिमेयता);

2)(एक्स+पर)+जेड=एक्स+(वाई+जेड) (जोड़ की साहचर्यता);

3) शून्य वेक्टर है 0 (या अशक्त वेक्टर) स्थिति को संतुष्ट करता है एक्स+0 =एक्स:किसी भी वेक्टर के लिए एक्स;

4) किसी भी वेक्टर के लिए एक्सएक विपरीत वेक्टर है परऐसा है कि एक्स+पर =0 ,

5) 1 एक्स=एक्स,जहाँ 1 क्षेत्र इकाई है

6) α (βx)=(αβ )एक्स(गुणन की साहचर्य), जहां उत्पाद αβ स्केलर्स का उत्पाद है

7) (α +β )एक्स=αx+βx(एक संख्यात्मक कारक के संबंध में वितरण संपत्ति);

8) α (एक्स+पर)=αx+αय(वेक्टर कारक के संबंध में वितरण संपत्ति)।

एक वेक्टर (या रैखिक) स्थान एक सेट है आर,किसी भी प्रकृति के तत्वों से मिलकर (सदिश कहा जाता है), जो तत्वों को जोड़ने और तत्वों को वास्तविक संख्याओं से गुणा करने के संचालन को परिभाषित करता है जो 1-8 शर्तों को पूरा करते हैं।

ऐसे स्थानों के उदाहरण हैं वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, तल पर और अंतरिक्ष में सदिशों का समुच्चय, आव्यूह आदि।

प्रमेय "वेक्टर रिक्त स्थान का सबसे सरल गुण"

1. सदिश समष्टि में केवल एक रिक्त सदिश होता है।

2. सदिश समष्टि में, किसी भी सदिश का एक अद्वितीय विपरीत होता है।

4. .

डॉक्टर-इन

मान लीजिए 0 सदिश समष्टि V का शून्य सदिश है। तब। चलो एक और शून्य सदिश हो। फिर । आइए पहले मामले में, और दूसरे में - . तब और, जहां से यह इस प्रकार है, p.t.d.

पहले हम सिद्ध करते हैं कि शून्य अदिश और किसी सदिश का गुणनफल एक शून्य सदिश के बराबर होता है।

होने देना । फिर, सदिश अंतरिक्ष स्वयंसिद्धों को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

जोड़ के संबंध में, एक सदिश स्थान एक एबेलियन समूह है, और रद्दीकरण कानून किसी भी समूह में लागू होता है। कमी के नियम को लागू करते हुए, यह अंतिम समानता 0 * x \u003d 0 से होता है

अब हम अभिकथन 4 को सिद्ध करते हैं)। चलो एक मनमाना वेक्टर बनें। फिर

इसका तात्पर्य यह है कि सदिश (-1)x सदिश x के विपरीत है।

चलो अब एक्स = 0। फिर, सदिश अंतरिक्ष स्वयंसिद्धों को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

चलिए मान लेते हैं। चूँकि, जहाँ K एक क्षेत्र है, वहाँ मौजूद है। आइए बाईं ओर की समानता को इससे गुणा करें: , जिसका अर्थ है या तो 1*x=0 या x=0

वैक्टर की प्रणाली की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता।वैक्टर के एक सेट को वेक्टर सिस्टम कहा जाता है।

सदिशों की एक प्रणाली को रैखिक रूप से निर्भर कहा जाता है यदि संख्याएँ हैं, सभी एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, जैसे कि (1)

k सदिशों की एक प्रणाली को रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि समानता (1) केवल के लिए संभव है, अर्थात जब समानता के बाईं ओर रैखिक संयोजन (1) तुच्छ है।

टिप्पणियाँ:

1. एक सदिश भी एक प्रणाली बनाता है: रैखिक रूप से निर्भर के लिए, और रैखिक रूप से स्वतंत्र के लिए।

2. सदिशों के तंत्र के किसी भी भाग को उपतंत्र कहते हैं।

रैखिक रूप से निर्भर और रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर के गुण:

1. यदि सदिशों की प्रणाली में एक शून्य सदिश शामिल है, तो यह रैखिक रूप से निर्भर है।

2. यदि सदिशों के निकाय में दो समान सदिश हों, तो वह रैखिकतः आश्रित होता है।

3. यदि सदिशों के निकाय में दो समानुपातिक सदिश हैं, तो यह रैखिकतः आश्रित है।

4. k>1 सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है यदि और केवल यदि कम से कम एक सदिश अन्य का एक रैखिक संयोजन है।

5. एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली में शामिल कोई भी वैक्टर एक रैखिक रूप से स्वतंत्र सबसिस्टम बनाता है।

6. एक रैखिक रूप से निर्भर उपप्रणाली वाले वैक्टर की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

7. यदि वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और इसमें एक वेक्टर जोड़ने के बाद यह रैखिक रूप से निर्भर हो जाता है, तो वेक्टर को वैक्टर में विस्तारित किया जा सकता है, और इसके अलावा, एक अनूठे तरीके से, अर्थात विस्तार गुणांक विशिष्ट रूप से पाए जाते हैं।

आइए, उदाहरण के लिए, अंतिम गुण सिद्ध करें। चूँकि सदिशों की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है, ऐसी संख्याएँ हैं जो सभी 0 के बराबर नहीं हैं, जो कि है। इस समानता में। वास्तव में, यदि, तब। इसका अर्थ है कि सदिशों का एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन शून्य सदिश के बराबर है, जो प्रणाली की रैखिक स्वतंत्रता के विपरीत है। इसलिए, और फिर, अर्थात्। वेक्टर वैक्टर का एक रैखिक संयोजन है। यह इस तरह के प्रतिनिधित्व की विशिष्टता दिखाने के लिए बनी हुई है। आइए इसके विपरीत मान लें। दो विस्तार होने दें तथा , और सभी विस्तार गुणांक क्रमशः एक दूसरे के बराबर नहीं हैं (उदाहरण के लिए, )।

फिर समानता से हमें मिलता है।

इसलिए, सदिशों का रैखिक संयोजन शून्य सदिश के बराबर है। चूँकि इसके सभी गुणांक शून्य (कम से कम) के बराबर नहीं हैं, यह संयोजन गैर-तुच्छ है, जो सदिशों की रैखिक स्वतंत्रता की स्थिति का खंडन करता है। परिणामी विरोधाभास अपघटन की विशिष्टता की पुष्टि करता है।

सदिशों की प्रणाली का पद और आधार।वैक्टर की एक प्रणाली की रैंक सिस्टम के रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर की अधिकतम संख्या है।

वैक्टर की प्रणाली का आधारसदिशों की दी गई प्रणाली का अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपतंत्र है।

प्रमेय। किसी भी सिस्टम वेक्टर को सिस्टम बेस वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है। (सिस्टम के किसी भी वेक्टर को आधार वैक्टर में विघटित किया जा सकता है।) किसी दिए गए वेक्टर और दिए गए आधार के लिए विस्तार गुणांक विशिष्ट रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

डॉक्टर-इन:

सिस्टम को एक आधार दें।

1 मामला।वेक्टर - आधार से। इसलिए, यह एक आधार सदिश के बराबर है, मान लीजिए। तब =।

दूसरा मामला।वेक्टर आधार से नहीं है। फिर आर> के।

वैक्टर की एक प्रणाली पर विचार करें। यह प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है, क्योंकि यह एक आधार है, अर्थात अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र सबसिस्टम। इसलिए, 1 के साथ संख्याएँ हैं, 2 के साथ, ..., k के साथ, सभी शून्य के बराबर नहीं हैं, जैसे कि

यह स्पष्ट है कि (यदि c = 0 है, तो सिस्टम का आधार रैखिक रूप से निर्भर है)।

आइए सिद्ध करें कि आधार के रूप में सदिश का प्रसार अद्वितीय होता है। इसके विपरीत मान लें: आधार के संदर्भ में सदिश के दो विस्तार हैं।

इन समानताओं को घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं

आधार वैक्टर की रैखिक स्वतंत्रता को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

इसलिए, आधार के संदर्भ में एक सदिश का विस्तार अद्वितीय है।

सिस्टम के किसी भी आधार में वैक्टर की संख्या समान है और वैक्टर की प्रणाली के रैंक के बराबर है।

जटिल संख्या की अवधारणा मुख्य रूप से समीकरण से जुड़ी है। ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो इस समीकरण को संतुष्ट करे।

इस प्रकार, जटिल संख्याएँ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र के एक सामान्यीकरण (विस्तार) के रूप में उत्पन्न हुईं, जब मनमाने ढंग से द्विघात (और अधिक सामान्य) समीकरणों को इसमें नई संख्याएँ जोड़कर हल करने की कोशिश की गई ताकि विस्तारित सेट एक संख्या क्षेत्र बना सके जिसमें निकालने की क्रिया रूट हमेशा संभव होगा।

परिभाषा।एक संख्या जिसका वर्ग है - 1, आमतौर पर पत्र द्वारा निरूपित किया जाता हैमैं और कॉल करें काल्पनिक इकाई।

परिभाषा. सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र C समीकरण के मूल वाले वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र का न्यूनतम विस्तार कहा जाता है।

परिभाषा. खेत सेबुलाया जटिल संख्याओं का क्षेत्रयदि यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

प्रमेय। (जटिल संख्याओं के क्षेत्र के अस्तित्व और विशिष्टता पर)। समीकरण के मूल के अंकन तक केवल एक ही हैजटिल संख्याओं का क्षेत्र से .

प्रत्येक तत्व को विशिष्ट रूप से निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

जहाँ , समीकरण का मूल है मैं 2 +1=0.

परिभाषा. कोई भी तत्व बुलाया जटिल संख्या, वास्तविक संख्या x कहलाती है वास्तविक भागसंख्या z और द्वारा निरूपित किया जाता है, वास्तविक संख्या y कहलाती है काल्पनिक भागसंख्या z और द्वारा निरूपित किया जाता है।

इस प्रकार, एक सम्मिश्र संख्या एक क्रमित युग्म है, जो वास्तविक संख्याओं से बना एक सम्मिश्र है एक्सतथा वाई.

यदि एक एक्स= 0, फिर संख्या जेड = 0+इय=इयबुलाया विशुद्ध रूप से काल्पनिक या काल्पनिक। यदि एक वाई= 0, फिर संख्या जेड=एक्स + 0मैं = एक्सवास्तविक संख्या से पहचाना जाता है एक्स।

दो जटिल संख्याएँ और उन्हें समान माना जाता है यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हों:

एक जटिल संख्या शून्य होती है जब उसके वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग शून्य होते हैं:

परिभाषा. दो सम्मिश्र संख्याएँ जिनका वास्तविक भाग समान होता है और जिनके काल्पनिक भाग निरपेक्ष मान में समान होते हैं लेकिन चिन्ह में विपरीत होते हैं, कहलाते हैं जटिल सन्युग्मया केवल संयुग्मित.

संयुग्मी संख्या जेड, द्वारा दर्शाया गया है। इस प्रकार, यदि, तब।

1.3। एक जटिल संख्या का मापांक और तर्क।
जटिल संख्याओं का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व

ज्यामितीय रूप से, एक जटिल संख्या को एक बिंदु के रूप में एक विमान (चित्र 1) पर दर्शाया गया है एमनिर्देशांक के साथ ( एक्स, वाई).

परिभाषा. वह तल जिस पर सम्मिश्र संख्याएँ खींची जाती हैं, कहलाता है जटिल विमान सी, कुल्हाड़ियों ऑक्स और ओए, जिस पर वास्तविक संख्याएँ स्थित हैं और विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्याएँ , कहा जाता है वैधतथा काल्पनिककुल्हाड़ियों, क्रमशः।

बिंदु स्थिति का प्रयोग करके भी ज्ञात किया जा सकता हैधुवीय निर्देशांक आरतथा φ , अर्थात।त्रिज्या-वेक्टर की लंबाई और बिंदु के त्रिज्या-वेक्टर के झुकाव के कोण के मान का उपयोग करना एम(एक्स, वाई) सकारात्मक वास्तविक अर्ध-अक्ष के लिए ओह.

परिभाषा. मापांक जटिल संख्या वेक्टर की लंबाई है जो समन्वय (जटिल) विमान पर जटिल संख्या का प्रतिनिधित्व करती है।

एक सम्मिश्र संख्या के मापांक को अक्षर द्वारा या अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है आरऔर इसके वास्तविक और काल्पनिक भागों के वर्गों के योग के वर्गमूल के अंकगणितीय मान के बराबर है।

डीईएफ़।सम्मिश्र संख्याओं की प्रणाली न्यूनतम-वाँ क्षेत्र है, जो वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र का विस्तार है और जिसमें एक तत्व i (i 2 -1 = 0) है।

डीईएफ़।बीजगणित<ℂ, +, ∙, 0, 1, ℝ, ⊕, ⊙, i>यदि आप निम्न स्थितियाँ (स्वयंसिद्ध) जारी करते हैं, तो sys-th COMP-TH संख्याएँ कहलाती हैं:

1. ए, बी∊ℂ∃! एम∊ℂ: ए + बी = एम

2. ए, बी, सी∊ℂ (ए+बी)+सी=ए+(बी+सी)

3. ए, बी∊ℂए+बी=बी+ए

4. ∃ 0∊ℂ a∊ℂ a+0=a

5. a∊ℂ ∃(-a)∊ℂ a+(-a)=0

6. ए, बी∊ℂ ∃! n∊ℂa∙b=n

7. ए, बी, सी∊ℂ (ए∙बी)∙सी=ए∙(बी∙सी)

8. ए, बी∊ℂए∙बी=बी∙ए

9. ∃1∊ℂ a∊ℂ a∙1=a

10. a∊ℂ ∃a -1 ∊ℂ a∙a -1 =1

11. ए, बी, सी∊ℂ (ए+बी)सी=एसी+बीसी

12. - क्रिया क्षेत्र नंबर

13. Rєℂ, a,b∊R a⊕b=a+b, a⊙b=a∙b

14. ∃i∊ℂ:i 2 +1=0

15. ℳ≠⌀ 1)ℳ⊂ℂ,R⊂ℳ 2) α,β∊ℳ⇒(α+β)∊ℳ और (α∙β)∊ℳ)⇒ℳ=ℂ

सेंट वा ℂ नंबर:

1. α∊ℂ∃! (ए, बी) ∊ आर:α=ए+बी∙i

2. COMP संख्याओं के क्षेत्र को रैखिक रूप से क्रमबद्ध नहीं किया जा सकता है, अर्थात α∊ℂ, α≥0 |+1, α 2 +1≥1, i 2 +1=0, 0≥1-असंभव।

3. बीजगणित का मौलिक प्रमेय: संख्याओं का क्षेत्र ℂ बीजगणितीय रूप से बंद है, अर्थात कोई भी pl। क्षेत्र में डिग्री ℂ संख्याओं का कम से कम एक सेट है। जड़

मुख्य से अगला। प्रमेय alg.: कोई बहुवचन स्थिति। एक सकारात्मक गुणांक के साथ पहली डिग्री के उत्पाद में जटिल संख्याओं के क्षेत्र में डिग्री को विघटित किया जा सकता है।

अगला: किसी भी वर्ग ur-e की 2 जड़ें होती हैं: 1) D>0 2-a अंतर। गतिविधि मूल 2)D=0 2-एक वास्तविक। संयोग-x मूल 3)D<0 2-а компл-х корня.

4. स्वयंसिद्ध। जटिल संख्याओं का सिद्धांत श्रेणीबद्ध और सुसंगत है

कार्यप्रणाली।

सामान्य शिक्षा कक्षाओं में, जटिल संख्या की अवधारणा पर विचार नहीं किया जाता है, वे केवल वास्तविक संख्याओं के अध्ययन तक ही सीमित हैं। लेकिन उच्च कक्षाओं में, स्कूली बच्चों के पास पहले से ही काफी परिपक्व गणितीय शिक्षा होती है और वे संख्या की अवधारणा का विस्तार करने की आवश्यकता को समझने में सक्षम होते हैं। सामान्य विकास के दृष्टिकोण से, प्राकृतिक विज्ञान और प्रौद्योगिकी में जटिल संख्याओं के ज्ञान का उपयोग किया जाता है, जो भविष्य के पेशे को चुनने की प्रक्रिया में एक छात्र के लिए महत्वपूर्ण है। कुछ पाठ्यपुस्तकों के लेखकों में बीजगणित पर उनकी पाठ्यपुस्तकों में इस विषय का अध्ययन अनिवार्य है और विशेष स्तरों के लिए गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत, जो राज्य मानक द्वारा प्रदान किए जाते हैं।

एक पद्धतिगत दृष्टिकोण से, "कॉम्प्लेक्स नंबर" विषय बुनियादी गणित पाठ्यक्रम में निर्धारित बहुपदों और संख्याओं के बारे में विचारों को विकसित और गहरा करता है, एक अर्थ में, हाई स्कूल में संख्या की अवधारणा के विकास को पूरा करता है।

हालाँकि, हाई स्कूल में भी, कई स्कूली बच्चों ने अमूर्त सोच को खराब रूप से विकसित किया है, या समन्वय और जटिल विमानों के बीच के अंतर को समझने के लिए "काल्पनिक, काल्पनिक" इकाई की कल्पना करना बहुत मुश्किल है। या इसके विपरीत, छात्र अपनी वास्तविक सामग्री से अलगाव में अमूर्त अवधारणाओं के साथ काम करता है।

"जटिल संख्या" विषय का अध्ययन करने के बाद, छात्रों को जटिल संख्याओं की स्पष्ट समझ होनी चाहिए, एक जटिल संख्या के बीजगणितीय, ज्यामितीय और त्रिकोणमितीय रूपों को जानना चाहिए। छात्रों को जोड़ने, गुणा करने, घटाने, भाग करने, घात बढ़ाने, सम्मिश्र संख्याओं पर एक सम्मिश्र संख्या से मूल निकालने में सक्षम होना चाहिए; बीजगणितीय रूप से त्रिकोणमितीय में जटिल संख्याओं का अनुवाद करें, जटिल संख्याओं के ज्यामितीय मॉडल के बारे में एक विचार प्राप्त करें

N.Ya द्वारा गणितीय कक्षाओं के लिए पाठ्यपुस्तक में विलेनकिन, ओएस इवाशेव-मुसाटोव, एस.आई. श्वार्ट्सबर्ड "बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत", विषय "जटिल संख्या" 11 वीं कक्षा में पेश किया गया है। विषय का अध्ययन 10वीं कक्षा में त्रिकोणमिति खंड का अध्ययन करने के बाद 11वीं कक्षा के दूसरे भाग में और 11वीं कक्षा में - अभिन्न और अंतर समीकरण, घातीय, लघुगणक और शक्ति कार्य, बहुपद में पेश किया जाता है। पाठ्यपुस्तक में, "जटिल संख्याएँ और उन पर संक्रियाएँ" विषय को दो भागों में विभाजित किया गया है: बीजगणितीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ; जटिल संख्याओं का त्रिकोणमितीय रूप। "जटिल संख्या और उन पर संचालन" विषय पर विचार द्विघात समीकरणों को हल करने के मुद्दे पर विचार के साथ शुरू होता है, तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरण और, परिणामस्वरूप, "नई संख्या i" को पेश करने की आवश्यकता का पता चलता है। सम्मिश्र संख्याओं और उन पर संक्रियाओं की अवधारणा तुरंत दी गई है: सम्मिश्र संख्याओं का योग, गुणनफल और भागफल ज्ञात करना। अगला, एक जटिल संख्या की अवधारणा की एक कठोर परिभाषा, जोड़ और गुणा, घटाव और विभाजन के संचालन के गुण दिए गए हैं। अगला उपभाग संयुग्मी सम्मिश्र संख्याओं और उनके कुछ गुणों से संबंधित है। अगला, हम जटिल संख्याओं से वर्गमूल निकालने और जटिल गुणांक वाले द्विघात समीकरणों को हल करने के प्रश्न पर विचार करते हैं। निम्नलिखित पैराग्राफ से संबंधित है: जटिल संख्याओं का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व; ध्रुवीय समन्वय प्रणाली और जटिल संख्याओं का त्रिकोणमितीय रूप; त्रिकोणमितीय रूप में जटिल संख्याओं का गुणन, घातांक और विभाजन; डी मोइवर का सूत्र, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के प्रमाण के लिए सम्मिश्र संख्याओं का अनुप्रयोग; एक जटिल संख्या से जड़ निकालना; बहुपद बीजगणित का मौलिक प्रमेय; जटिल संख्या और ज्यामितीय परिवर्तन, एक जटिल चर के कार्य।

पाठ्यपुस्तक में एस.एम. निकोल्स्की, एम.के. पोटापोवा, एन.एन. रेशेतनिकोवा, ए.वी. शेवकिन "बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत", विषय "सभी विषयों का अध्ययन करने के बाद 11 वीं कक्षा में जटिल संख्या पर विचार किया जाता है, अर्थात। स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम के अंत में। विषय को तीन खंडों में विभाजित किया गया है: बीजगणितीय रूप और जटिल संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या; जटिल संख्याओं का त्रिकोणमितीय रूप; बहुपदों की जड़ें, सम्मिश्र संख्याओं का चरघातांकी रूप। पैराग्राफ की सामग्री काफी विशाल है, इसमें कई अवधारणाएँ, परिभाषाएँ, प्रमेय शामिल हैं। पैराग्राफ "बीजगणितीय रूप और जटिल संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या" में तीन खंड होते हैं: एक जटिल संख्या का बीजगणितीय रूप; संयुग्म जटिल संख्या; एक जटिल संख्या की ज्यामितीय व्याख्या। पैराग्राफ "एक जटिल संख्या का त्रिकोणमितीय रूप" में एक जटिल संख्या के त्रिकोणमितीय रूप की अवधारणा को पेश करने के लिए आवश्यक परिभाषाएँ और अवधारणाएँ शामिल हैं, साथ ही एक बीजगणितीय रूप से एक जटिल संख्या के त्रिकोणमितीय रूप में स्विच करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है। अंतिम पैराग्राफ में "बहुपदों की जड़ें। सम्मिश्र संख्याओं का घातीय रूप" में तीन खंड होते हैं: सम्मिश्र संख्याओं और उनके गुणों से जड़ें; बहुपद की जड़ें; एक जटिल संख्या का घातीय रूप।

पाठ्यपुस्तक सामग्री एक छोटी मात्रा में प्रस्तुत की जाती है, लेकिन छात्रों के लिए जटिल संख्याओं के सार को समझने और उनके बारे में न्यूनतम ज्ञान प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है। पाठ्यपुस्तक में अभ्यासों की संख्या कम है और यह जटिल संख्या को घात तक बढ़ाने और डी मोइवर के सूत्र के मुद्दे को संबोधित नहीं करती है

पाठ्यपुस्तक में ए.जी. मोर्डकोविच, पी.वी. सेमेनोव "बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत", प्रोफ़ाइल स्तर, ग्रेड 10, विषय "जटिल संख्या" को "वास्तविक संख्या" और "त्रिकोणमिति" विषयों का अध्ययन करने के तुरंत बाद कक्षा 10 की दूसरी छमाही में पेश किया जाता है। यह प्लेसमेंट आकस्मिक नहीं है: एक जटिल संख्या के त्रिकोणमितीय रूप के अध्ययन में संख्यात्मक वृत्त और त्रिकोणमिति सूत्र दोनों सक्रिय रूप से उपयोग किए जाते हैं, मोइवर सूत्र, जब एक जटिल संख्या से वर्ग और घन जड़ें निकालते हैं। विषय "जटिल संख्याएँ" छठे अध्याय में प्रस्तुत किया गया है और इसे 5 खंडों में विभाजित किया गया है: सम्मिश्र संख्याएँ और उन पर अंकगणितीय संक्रियाएँ; सम्मिश्र संख्याएँ और निर्देशांक तल; जटिल संख्या लिखने का त्रिकोणमितीय रूप; जटिल संख्या और द्विघात समीकरण; सम्मिश्र संख्या को घात में उठाना, सम्मिश्र संख्या का घनमूल निकालना।

एक जटिल संख्या की अवधारणा को एक संख्या की अवधारणा के विस्तार और वास्तविक संख्याओं में कुछ संचालन करने की असंभवता के रूप में पेश किया जाता है। पाठ्यपुस्तक में मुख्य संख्यात्मक सेट और उनमें अनुमत संक्रियाओं के साथ एक तालिका है। जटिल संख्याओं को संतुष्ट करने वाली न्यूनतम शर्तों को सूचीबद्ध किया गया है, और फिर एक काल्पनिक इकाई की अवधारणा, एक जटिल संख्या की परिभाषा, जटिल संख्याओं की समानता, उनका योग, अंतर, उत्पाद और भागफल पेश किया गया है।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के ज्यामितीय मॉडल से, वे जटिल संख्याओं के समुच्चय के ज्यामितीय मॉडल में जाते हैं। "एक जटिल संख्या लिखने का त्रिकोणमितीय रूप" विषय पर विचार एक जटिल संख्या के मापांक की परिभाषा और गुणों से शुरू होता है। अगला, हम एक जटिल संख्या लिखने के त्रिकोणमितीय रूप, एक जटिल संख्या के तर्क की परिभाषा और एक जटिल संख्या के मानक त्रिकोणमितीय रूप पर विचार करते हैं।

अगला, हम एक जटिल संख्या के वर्गमूल के निष्कर्षण का अध्ययन करते हैं, द्विघात समीकरणों का समाधान। और अंतिम पैराग्राफ में, मोइवर सूत्र पेश किया गया है और एक जटिल संख्या से घनमूल निकालने के लिए एक एल्गोरिथ्म निकाला गया है।

साथ ही विचाराधीन पाठ्यपुस्तक में, प्रत्येक पैराग्राफ में, सैद्धांतिक भाग के समानांतर, कई उदाहरणों पर विचार किया जाता है जो सिद्धांत को चित्रित करते हैं और विषय की अधिक सार्थक धारणा देते हैं। संक्षिप्त ऐतिहासिक तथ्य दिए गए हैं।

फील्ड स्वयंसिद्ध। जटिल संख्याओं का क्षेत्र। जटिल संख्या का त्रिकोणमितीय अंकन।

एक सम्मिश्र संख्या रूप की एक संख्या है, जहाँ और वास्तविक संख्याएँ हैं, तथाकथित काल्पनिक इकाई. नंबर कहा जाता है वास्तविक भाग ( ) सम्मिश्र संख्या, संख्या कहलाती है काल्पनिक भाग ( ) जटिल संख्या।

बहुत सारावही जटिल आंकड़ेआमतौर पर "बोल्ड" या गाढ़े अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है

सम्मिश्र संख्याएँ पर प्रदर्शित होती हैं जटिल विमान:

जटिल विमान में दो अक्ष होते हैं:
- वास्तविक अक्ष (एक्स)
- काल्पनिक अक्ष (y)

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय का उपसमुच्चय होता है

जटिल संख्याओं के साथ संचालन

दो सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ने के लिए, उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों को जोड़ें।

जटिल संख्याओं का घटाव

कार्रवाई जोड़ के समान है, केवल ख़ासियत यह है कि सबट्रेंड को कोष्ठक में लिया जाना चाहिए, और फिर, एक मानक के रूप में, इन कोष्ठकों को एक संकेत परिवर्तन के साथ खोलें

जटिल संख्याओं का गुणन

बहुपदों के गुणन के नियम के अनुसार कोष्ठक खोलें

जटिल संख्याओं का विभाजन

संख्याओं का विभाजन किया जाता है हर और अंश को हर के संयुग्मी व्यंजक से गुणा करके.

जटिल संख्याओं में वास्तविक संख्याओं के कई गुण होते हैं, जिनमें से हम निम्नलिखित पर ध्यान देते हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य.

1) (एक + बी) + सी = एक + (बी + सी) (अतिरिक्त साहचर्य);

2) एक + बी = बी + एक (योग की क्रमविनिमेयता);

3) एक + 0 = 0 + एक = एक (इसके अतिरिक्त एक तटस्थ तत्व का अस्तित्व);

4) एक + (−एक) = (−एक) + एक = 0 (एक विपरीत तत्व का अस्तित्व);

5) एक(बी + सी) = अब + एसी ();

6) (एक + बी)सी = एसी + बीसी (जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण);

7) (अब)सी = एक(बीसी) (गुणा साहचर्य);

8) अब = बी ० ए (गुणन की क्रमविनिमेयता);

9) एक∙1 = 1∙एक = एक (गुणन द्वारा एक तटस्थ तत्व का अस्तित्व);

10) किसी के लिए एक≠ 0 बी, क्या अब = बी ० ए = 1 (उलटा तत्व का अस्तित्व);

11) 0 ≠ 1 (कोई नाम नहीं)।

मनमानी प्रकृति की वस्तुओं का सेट, जिस पर जोड़ और गुणा के संचालन को परिभाषित किया गया है, जिसमें संकेतित 11 गुण हैं (जो इस मामले में स्वयंसिद्ध हैं), कहलाते हैं खेत.

जटिल संख्याओं के क्षेत्र को वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र के विस्तार के रूप में समझा जा सकता है जिसमें बहुपद की जड़ होती है

किसी भी सम्मिश्र संख्या (शून्य को छोड़कर) को त्रिकोणमितीय रूप में लिखा जा सकता है:
, वह कहां है जटिल संख्या मापांक, एक - जटिल संख्या तर्क.

एक सम्मिश्र संख्या का मापांकनिर्देशांक की उत्पत्ति से जटिल तल के संगत बिंदु तक की दूरी है। सीधे शब्दों में कहें, मापांक लंबाई हैरेडियस वेक्टर, जिसे ड्राइंग में लाल रंग में चिह्नित किया गया है।

एक सम्मिश्र संख्या के मापांक को आमतौर पर इसके द्वारा निरूपित किया जाता है: या

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, एक सम्मिश्र संख्या का मापांक ज्ञात करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करना आसान है: . यह सूत्र मान्य है किसी के लिएअर्थ "ए" और "होना"।

एक सम्मिश्र संख्या का तर्कबुलाया कोनाके बीच सकारात्मक अक्षवास्तविक अक्ष और मूल से संबंधित बिंदु तक खींची गई त्रिज्या वेक्टर। तर्क एकवचन के लिए परिभाषित नहीं है:।

एक सम्मिश्र संख्या के तर्क को आमतौर पर इसके द्वारा निरूपित किया जाता है: या

चलो और φ = आर्ग जेड. फिर, तर्क की परिभाषा से, हमारे पास:

वास्तविक संख्या के क्षेत्र में मेट्रिसेस की अंगूठी। मेट्रिसेस पर बुनियादी संचालन। संचालन गुण।

आव्यूहआकार m´n, जहाँ m पंक्तियों की संख्या है, n स्तंभों की संख्या है, एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित संख्याओं की तालिका कहलाती है। इन नंबरों को मैट्रिक्स तत्व कहा जाता है। प्रत्येक तत्व का स्थान विशिष्ट रूप से पंक्ति और स्तंभ की संख्या से निर्धारित होता है, जिसके चौराहे पर वह स्थित है। मैट्रिक्स तत्वों को एक ij के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ i पंक्ति संख्या है और j स्तंभ संख्या है।

परिभाषा। यदि मैट्रिक्स के स्तंभों की संख्या पंक्तियों की संख्या (m=n) के बराबर हो, तो मैट्रिक्स को कहा जाता है वर्ग.

परिभाषा। मैट्रिक्स देखें:

= इ,

बुलाया पहचान मैट्रिक्स.

परिभाषा। यदि एक एक एमएन = एक एनएम, तो मैट्रिक्स कहा जाता है सममित.

उदाहरण। - सममित मैट्रिक्स

परिभाषा। स्क्वायर व्यू मैट्रिक्स बुलाया विकर्णआव्यूह।

एक मैट्रिक्स को एक संख्या से गुणा करना

एक मैट्रिक्स को एक संख्या से गुणा करना(संकेत:) एक मैट्रिक्स का निर्माण होता है जिसके तत्व मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को इस संख्या से गुणा करके प्राप्त किए जाते हैं, अर्थात मैट्रिक्स का प्रत्येक तत्व बराबर होता है

किसी संख्या द्वारा मैट्रिसेस के गुणन के गुण:

· ग्यारह ए = ए;

2. (λβ)ए = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

· चार। λ(ए+बी) = λए + λबी

मैट्रिक्स जोड़

मैट्रिक्स जोड़एक मैट्रिक्स खोजने का ऑपरेशन है, जिनमें से सभी तत्व मेट्रिसेस के सभी संबंधित तत्वों के युग्मवार योग के बराबर हैं और, अर्थात, मैट्रिक्स का प्रत्येक तत्व बराबर है

मैट्रिक्स जोड़ गुण:

1. क्रमविनिमेयता: ए+बी = बी+ए;

2.सहयोगिता: (ए+बी)+सी =ए+(बी+सी);

3. शून्य मैट्रिक्स के साथ जोड़: ए + Θ = ए;

4. विपरीत मैट्रिक्स का अस्तित्व: ए+(-ए)=Θ;

रैखिक संचालन के सभी गुण एक रैखिक स्थान के स्वयंसिद्धों को दोहराते हैं, और इसलिए निम्नलिखित प्रमेय मान्य है:

एक ही आकार के सभी मैट्रिसेस का सेट एमएक्स एनक्षेत्र से तत्वों के साथ पी(सभी वास्तविक या जटिल संख्याओं के क्षेत्र) फ़ील्ड P पर एक रेखीय स्थान बनाते हैं (प्रत्येक ऐसा मैट्रिक्स इस स्थान का एक वेक्टर है)। हालांकि, मुख्य रूप से पारिभाषिक भ्रम से बचने के लिए, बिना आवश्यकता के सामान्य संदर्भों में मेट्रिसेस से बचा जाता है (जो कि सबसे सामान्य मानक अनुप्रयोगों में नहीं है) और वैक्टर को कॉल करने के लिए शब्द के उपयोग के स्पष्ट विनिर्देश।

मैट्रिक्स गुणन

मैट्रिक्स गुणन(संकेत: , शायद ही कभी गुणन चिन्ह के साथ) - एक मैट्रिक्स की गणना करने के लिए एक ऑपरेशन होता है, जिसका प्रत्येक तत्व पहले कारक की संबंधित पंक्ति और दूसरे के कॉलम में तत्वों के उत्पादों के योग के बराबर होता है।

मैट्रिक्स में कॉलम की संख्या मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या से मेल खाना चाहिए, दूसरे शब्दों में, मैट्रिक्स होना चाहिए मान गयाएक मैट्रिक्स के साथ। यदि मैट्रिक्स का आयाम है, -, तो उनके उत्पाद का आयाम है।

मैट्रिक्स गुणन गुण:

1. सहयोगीता (एबी) सी = ए (बीसी);

2. गैर-कम्यूटेटिविटी (आमतौर पर): एबी बीए;

3. पहचान मैट्रिक्स के साथ गुणन के मामले में उत्पाद क्रमविनिमेय है: एआई = आइए;

4.वितरण: (ए+बी)सी = एसी + बीसी, ए (बी + सी) = एबी + एसी;

5. एक संख्या से गुणन के संबंध में साहचर्य और क्रमविनिमेयता: (λए)बी = λ(एबी) = ए(λबी);

मैट्रिक्स ट्रांसपोजिशन.

उलटा मैट्रिक्स ढूँढना.

एक वर्ग मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि यह गैर-एकवचन है, अर्थात इसका निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है। गैर-स्क्वायर मैट्रिसेस और पतित मैट्रिसेस के लिए कोई व्युत्क्रम मेट्रिसेस नहीं हैं।

मैट्रिक्स रैंक प्रमेय

मैट्रिक्स ए का रैंक गैर-शून्य नाबालिग का अधिकतम क्रम है

माइनर जो मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करता है उसे बेसिस माइनर कहा जाता है। बीएम बनाने वाली पंक्तियों और स्तंभों को मूल पंक्तियाँ और स्तंभ कहा जाता है।

अंकन: आर(ए), आर(ए), रंग ए।

टिप्पणी। जाहिर है, मैट्रिक्स की रैंक का मान उसके सबसे छोटे आयाम से अधिक नहीं हो सकता।

किसी भी मैट्रिक्स के लिए, उसकी छोटी, पंक्ति और स्तंभ रैंक समान हैं.

सबूत. मैट्रिक्स की मामूली रैंक दें ए बराबरी आर . आइए हम दिखाते हैं कि पंक्ति रैंक भी बराबर है आर . इसके लिए हम यह मान सकते हैं कि प्रतिवर्ती माइनर एम गण आर प्रथम में है आर मैट्रिक्स पंक्तियाँ ए . इससे यह पता चलता है कि पहले आर मैट्रिक्स पंक्तियाँ ए रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और छोटी पंक्तियों का सेट है एम रैखिक रूप से स्वतंत्र। होने देना एक - लंबाई स्ट्रिंग आर , तत्वों से बना है मैं मैट्रिक्स की -वीं पंक्ति, जो माइनर के समान कॉलम में स्थित हैं एम . माइनर स्ट्रिंग्स के बाद से एम का आधार बनता है के आर , फिर एक - मामूली तारों का रैखिक संयोजन एम . से घटाना मैं -वीं पंक्ति ए पहले का समान रैखिक संयोजन आर मैट्रिक्स पंक्तियाँ ए . यदि परिणाम एक स्ट्रिंग है जिसमें संख्या वाले कॉलम में एक गैर-शून्य तत्व होता है टी , फिर अवयस्क पर विचार करें एम 1 गण आर+1 मैट्रिक्स ए माइनर की पंक्तियों में मैट्रिक्स की वें पंक्ति को जोड़ना ए और माइनर कॉलम -मैट्रिक्स का वां कॉलम ए (वे कहते हैं कि नाबालिग एम 1 प्राप्त किया एजिंग माइनर एम का उपयोग करके मैं -वीं पंक्ति और टी मैट्रिक्स का -वाँ स्तंभ ए ). हमारी पसंद से टी , यह माइनर इनवर्टिबल है (यह इस माइनर की अंतिम पंक्ति से पहले के रैखिक संयोजन को घटाने के लिए पर्याप्त है आर पंक्तियां, और फिर यह सुनिश्चित करने के लिए अंतिम पंक्ति पर इसके निर्धारक का विस्तार करें कि यह निर्धारक, गैर-शून्य स्केलर कारक तक, नाबालिग के निर्धारक से मेल खाता है एम . परिभाषा से आर ऐसी स्थिति असंभव है और इसलिए परिवर्तन के बाद मैं -वीं पंक्ति ए शून्य हो जाएगा। दूसरे शब्दों में, मूल मैं -वीं पंक्ति पहले का एक रैखिक संयोजन है आर मैट्रिक्स पंक्तियाँ ए . हमने दिखाया है कि पहला आर पंक्तियाँ मैट्रिक्स रोसेट का आधार बनाती हैं ए , यानी लोअरकेस रैंक ए बराबरी आर . सिद्ध करना है कि स्तंभ कोटि है आर उपरोक्त तर्क में "पंक्तियों" और "कॉलम" को स्वैप करने के लिए पर्याप्त है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

इस प्रमेय से पता चलता है कि मैट्रिक्स के तीन रैंकों के बीच अंतर करने का कोई मतलब नहीं है, और इसके बाद मैट्रिक्स के रैंक से हमारा मतलब पंक्ति रैंक होगा, यह याद रखना कि यह कॉलम और मामूली रैंक दोनों के बराबर है (नोटेशन आर(ए) - मैट्रिक्स रैंक ए ). हम यह भी ध्यान देते हैं कि यह रैंक प्रमेय के प्रमाण से अनुसरण करता है कि एक मैट्रिक्स का रैंक मैट्रिक्स के किसी भी व्युत्क्रमणीय नाबालिग के आयाम के साथ मेल खाता है, जैसे कि इसके आस-पास के सभी नाबालिग (यदि वे मौजूद हैं) पतित हैं।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली सुसंगत है अगर और केवल अगर इसके मुख्य मैट्रिक्स का रैंक इसके विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है, और यदि रैंक अज्ञात की संख्या के बराबर है, तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान है, और एक अनंत संख्या में समाधान यदि रैंक अज्ञात की संख्या से कम है।

जरुरत

सिस्टम को सुसंगत रहने दें। फिर ऐसी संख्याएँ हैं कि . इसलिए, स्तंभ मैट्रिक्स के स्तंभों का एक रैखिक संयोजन है। इस तथ्य से कि एक मैट्रिक्स का रैंक नहीं बदलेगा यदि इसकी पंक्तियों (स्तंभों) की प्रणाली को हटा दिया जाता है या एक पंक्ति (स्तंभ) को असाइन किया जाता है, जो अन्य पंक्तियों (स्तंभों) का एक रैखिक संयोजन है, यह इस प्रकार है।

पर्याप्तता

होने देना । आइए मैट्रिक्स में कुछ बुनियादी माइनर लें। चूंकि, तब यह मैट्रिक्स का आधार लघु भी होगा। फिर, आधार लघु प्रमेय के अनुसार, मैट्रिक्स का अंतिम स्तंभ आधार स्तंभों का एक रैखिक संयोजन होगा, अर्थात मैट्रिक्स के स्तंभ। इसलिए, सिस्टम के मुक्त सदस्यों का स्तंभ मैट्रिक्स के स्तंभों का एक रैखिक संयोजन है।

परिणाम

· सिस्टम के मुख्य चरों की संख्या सिस्टम की रैंक के बराबर होती है|

· एक संयुक्त प्रणाली को परिभाषित किया जाएगा (इसका समाधान अद्वितीय है) यदि प्रणाली का रैंक इसके सभी चरों की संख्या के बराबर है।

आधार लघु प्रमेय।

प्रमेय। एक मनमाना मैट्रिक्स ए में, प्रत्येक स्तंभ (पंक्ति) स्तंभों (पंक्तियों) का एक रैखिक संयोजन होता है जिसमें आधार नाबालिग स्थित होता है।

इस प्रकार, एक मनमाना मैट्रिक्स ए का रैंक मैट्रिक्स में रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों (स्तंभों) की अधिकतम संख्या के बराबर है।

यदि A एक वर्ग मैट्रिक्स है और detA = 0 है, तो कम से कम एक स्तंभ अन्य स्तंभों का एक रैखिक संयोजन है। स्ट्रिंग्स के लिए भी यही सच है। यह कथन शून्य के बराबर निर्धारक के साथ रैखिक निर्भरता की संपत्ति से अनुसरण करता है।

7. एसएलयू समाधान। क्रैमर की विधि, मैट्रिक्स विधि, गॉस विधि।

क्रैमर की विधि।

यह विधि केवल रैखिक समीकरणों के निकाय के मामले में भी लागू होती है, जहाँ चरों की संख्या समीकरणों की संख्या के साथ मेल खाती है। इसके अलावा, सिस्टम के गुणांक पर प्रतिबंध लगाना आवश्यक है। यह आवश्यक है कि सभी समीकरण रैखिक रूप से स्वतंत्र हों, अर्थात कोई भी समीकरण दूसरों का रैखिक संयोजन नहीं होगा।

ऐसा करने के लिए, यह आवश्यक है कि सिस्टम के मैट्रिक्स का निर्धारक 0 के बराबर न हो।

वास्तव में, यदि सिस्टम का कोई समीकरण दूसरों का एक रैखिक संयोजन है, तो यदि किसी पंक्ति के तत्वों को दूसरे के तत्वों में जोड़ा जाता है, तो किसी संख्या से गुणा करके, रैखिक परिवर्तनों का उपयोग करके, आप एक शून्य पंक्ति प्राप्त कर सकते हैं। इस मामले में निर्धारक शून्य के बराबर होगा।

प्रमेय। (क्रैमर का नियम):

प्रमेय। n अज्ञात के साथ n समीकरणों की प्रणाली

यदि सिस्टम के मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो इसका एक अनूठा समाधान है और यह समाधान सूत्रों द्वारा पाया जाता है:

एक्स आई = डी आई / डी, जहां

D = det A, और D i, मुक्त सदस्यों b i के कॉलम i के साथ कॉलम i को प्रतिस्थापित करके सिस्टम मैट्रिक्स से प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक है।

डी आई =

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि।

मैट्रिक्स विधि समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए लागू होती है जहां समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है।

लो-ऑर्डर सिस्टम को हल करने के लिए यह तरीका सुविधाजनक है।

विधि मैट्रिक्स गुणन के गुणों को लागू करने पर आधारित है।

मान लीजिए कि समीकरणों की प्रणाली दी गई है:

मैट्रिसेस लिखें: ए = ; बी =; एक्स =।

समीकरणों की प्रणाली लिखी जा सकती है: A×X = B.

चलिए निम्नलिखित परिवर्तन करते हैं: A -1 ×A×X = A -1 ×B, क्योंकि ए -1 × ए = ई, फिर ई × एक्स = ए -1 × बी

एक्स \u003d ए -1 × बी

इस पद्धति को लागू करने के लिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजना आवश्यक है, जो उच्च-क्रम प्रणालियों को हल करने में कम्प्यूटेशनल कठिनाइयों से जुड़ा हो सकता है।

परिभाषा। एन अज्ञात के साथ एम समीकरणों की प्रणाली आम तौर पर निम्नानुसार लिखी जाती है:

, (1)

जहाँ a i गुणांक हैं और b स्थिरांक हैं। सिस्टम के समाधान एन नंबर हैं, जो सिस्टम में प्रतिस्थापित होने पर, इसके प्रत्येक समीकरण को एक पहचान में बदल देते हैं।

परिभाषा। यदि किसी सिस्टम में कम से कम एक समाधान है, तो उसे कहा जाता है संयुक्त. यदि सिस्टम में कोई समाधान नहीं है, तो इसे कहा जाता है असंगत.

परिभाषा। सिस्टम कहा जाता है निश्चितअगर इसका केवल एक ही समाधान है और ढुलमुलयदि एक से अधिक।

परिभाषा। फॉर्म (1) के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए, मैट्रिक्स

ए = सिस्टम का मैट्रिक्स कहा जाता है, और मैट्रिक्स

ए*=
सिस्टम का संवर्धित मैट्रिक्स कहा जाता है

परिभाषा। यदि b 1 , b 2 , …,b m = 0, तो सिस्टम कहलाता है सजातीय. सजातीय प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है।

सिस्टम का प्राथमिक परिवर्तन।

प्राथमिक परिवर्तन हैं:

1) एक समीकरण के दोनों भागों का योग, दूसरे के संबंधित भागों को एक ही संख्या से गुणा करके, शून्य के बराबर नहीं।

2) स्थानों में समीकरणों का क्रमपरिवर्तन।

3) समीकरणों की प्रणाली से हटाना जो सभी x के लिए सर्वसमिका है।

गॉस विधि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की एक प्रणाली को हल करने के लिए एक शास्त्रीय विधि है। यह चर के क्रमिक उन्मूलन की एक विधि है, जब, प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से, समीकरणों की प्रणाली को त्रिकोणीय रूप के समतुल्य प्रणाली में घटाया जाता है, जिसमें से अन्य सभी चर क्रमिक रूप से पाए जाते हैं, अंतिम से शुरू (संख्या से) ) चर

मूल प्रणाली को इस तरह दिखने दें

मैट्रिक्स को सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स कहा जाता है - मुक्त सदस्यों का स्तंभ।

फिर, पंक्तियों पर प्राथमिक परिवर्तनों की संपत्ति के अनुसार, इस प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध रूप में कम किया जा सकता है (समान परिवर्तन मुक्त सदस्यों के कॉलम पर लागू किया जाना चाहिए):

तब चर कहलाते हैं मुख्य चर. अन्य सभी को बुलाया जाता है नि: शुल्क.

यदि कम से कम एक संख्या, जहां, तो विचाराधीन प्रणाली असंगत है, अर्थात उसके पास कोई उपाय नहीं है।

किसी के लिए चलो।

हम मुक्त चर को समान चिह्नों से परे स्थानांतरित करते हैं और सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को उसके गुणांक द्वारा सबसे बाईं ओर विभाजित करते हैं ( , जहां रेखा संख्या है):

यदि हम सिस्टम (2) के मुक्त चर के लिए सभी संभावित मान निर्दिष्ट करते हैं और नीचे से ऊपर (यानी निचले समीकरण से ऊपरी एक तक) मुख्य अज्ञात के संबंध में नई प्रणाली को हल करते हैं, तो हम प्राप्त करेंगे इस SLAE के सभी समाधान। चूँकि यह प्रणाली मूल प्रणाली (1) पर प्राथमिक परिवर्तनों द्वारा प्राप्त की गई थी, तो प्राथमिक परिवर्तनों के तहत तुल्यता प्रमेय द्वारा, सिस्टम (1) और (2) समतुल्य हैं, अर्थात उनके समाधान के सेट मेल खाते हैं।

परिणाम:
1: यदि एक संयुक्त प्रणाली में सभी चर प्रमुख हैं, तो ऐसी प्रणाली निश्चित है।

2: यदि प्रणाली में चर की संख्या समीकरणों की संख्या से अधिक है, तो ऐसी प्रणाली या तो अनिश्चित या असंगत है।

कलन विधि

गॉसियन विधि द्वारा SLAE को हल करने के लिए एल्गोरिथम को दो चरणों में विभाजित किया गया है।

पहले चरण में, तथाकथित सीधी चाल को अंजाम दिया जाता है, जब, पंक्तियों में प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से, प्रणाली को एक चरणबद्ध या त्रिकोणीय रूप में लाया जाता है, या यह स्थापित किया जाता है कि प्रणाली असंगत है। अर्थात्, मैट्रिक्स के पहले कॉलम के तत्वों के बीच, एक गैर-शून्य एक को चुना जाता है, इसे पंक्तियों की अनुमति देकर ऊपर की स्थिति में ले जाया जाता है, और क्रमचय के बाद प्राप्त पहली पंक्ति को शेष पंक्तियों से घटाया जाता है, इसे एक से गुणा किया जाता है इन पंक्तियों में से प्रत्येक के पहले तत्व के अनुपात के बराबर मान, पहली पंक्ति के पहले तत्व के अनुपात के बराबर, इस प्रकार इसके नीचे के कॉलम को शून्य करना। संकेतित परिवर्तन किए जाने के बाद, पहली पंक्ति और पहले स्तंभ को मानसिक रूप से काट दिया जाता है और तब तक जारी रहता है जब तक शून्य-आकार का मैट्रिक्स नहीं रहता। यदि पहले कॉलम के तत्वों में से कुछ पुनरावृत्तियों में गैर-शून्य नहीं मिला, तो अगले कॉलम पर जाएं और एक समान ऑपरेशन करें।

दूसरे चरण में, तथाकथित रिवर्स मूव किया जाता है, जिसका सार गैर-मूलभूत लोगों के संदर्भ में सभी परिणामी मूल चर को व्यक्त करना और समाधान की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण करना है, या, यदि सभी चर बुनियादी हैं, फिर संख्यात्मक रूप से रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एकमात्र समाधान व्यक्त करें। यह प्रक्रिया अंतिम समीकरण से शुरू होती है, जिसमें से संबंधित मूल चर को व्यक्त किया जाता है (और वहां केवल एक ही होता है) और पिछले समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है, और इसी तरह, "कदम" ऊपर जा रहा है। प्रत्येक पंक्ति बिल्कुल एक मूल चर से मेल खाती है, इसलिए प्रत्येक चरण पर, अंतिम (सबसे ऊपर) को छोड़कर, स्थिति बिल्कुल अंतिम पंक्ति के मामले को दोहराती है।

वैक्टर। मूल अवधारणा। स्केलर उत्पाद, इसके गुण।

वेक्टरएक निर्देशित खंड (बिंदुओं की एक आदेशित जोड़ी) कहा जाता है। वैक्टर पर भी लागू होता है। शून्यएक वेक्टर जिसका प्रारंभ और अंत समान है।

लंबाई (मॉड्यूल)वेक्टर वेक्टर की शुरुआत और अंत के बीच की दूरी है।

वैक्टर कहलाते हैं समरेखअगर वे एक ही या समांतर रेखाओं पर स्थित हैं। शून्य वेक्टर किसी भी वेक्टर के समरेख होता है।

वैक्टर कहलाते हैं समतलीयअगर वहाँ एक विमान मौजूद है जिसके समानांतर वे हैं।

समरेखीय सदिश हमेशा समतलीय होते हैं, लेकिन सभी समतलीय सदिश समरेख नहीं होते हैं।

वैक्टर कहलाते हैं बराबरयदि वे संरेख हैं, तो उनकी दिशा समान है, और उनका निरपेक्ष मान समान है।

किसी भी सदिश को एक सामान्य मूल में घटाया जा सकता है, अर्थात सदिशों का निर्माण डेटा के बराबर और एक सामान्य मूल होने के कारण होता है। सदिश समानता की परिभाषा से यह पता चलता है कि किसी भी सदिश के अपरिमित रूप से अनेक सदिश उसके बराबर होते हैं।

रैखिक संचालनसदिशों पर किसी संख्या का योग और गुणन कहलाता है।

सदिशों का योग सदिश होता है -

काम - , संरेख होने के दौरान।

सदिश सदिश ( ) के साथ कोडायरेक्शनल है यदि a > 0।

सदिश सदिश (¯) के विपरीत है यदि a< 0.

वेक्टर गुण।

1) + = + - क्रमविनिमेयता।

2) + ( + ) = ( + )+

5) (ए × बी) = ए (बी) - सहयोगीता

6) (ए + बी) = ए + बी - वितरण

7) ए (+) = ए + ए

1) आधारअंतरिक्ष में एक निश्चित क्रम में लिए गए किसी भी 3 गैर-समतलीय वैक्टर कहलाते हैं।

2) आधारसमतल पर कोई भी 2 असंरेख सदिश एक निश्चित क्रम में लिए गए हैं।

3)आधारकिसी भी गैर-शून्य वेक्टर को लाइन पर बुलाया जाता है।

यदि एक अंतरिक्ष में एक आधार है और , तो संख्याएँ a, b और g कहलाती हैं घटक या निर्देशांकइस आधार पर वैक्टर।

इस संबंध में हम निम्नलिखित लिख सकते हैं गुण:

समान सदिशों के निर्देशांक समान होते हैं,

जब किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो उसके घटकों को भी उस संख्या से गुणा किया जाता है,

जब सदिशों को जोड़ा जाता है, तो उनके संगत घटकों को जोड़ा जाता है।

;
;

वैक्टर की रैखिक निर्भरता।

परिभाषा। वैक्टर बुलाया रैखिक रूप से निर्भर, यदि ऐसा कोई रैखिक संयोजन है, यदि i एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं है, अर्थात .

यदि केवल जब a i = 0 संतुष्ट होता है, तो सदिशों को रैखिकतः स्वतंत्र कहा जाता है।

संपत्ति 1. यदि सदिशों के बीच एक अशक्त सदिश है, तो ये सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं।

संपत्ति 2. यदि एक या एक से अधिक सदिशों को रैखिक रूप से आश्रित सदिशों के तंत्र में जोड़ा जाता है, तो परिणामी तंत्र भी रैखिक रूप से आश्रित होगा।

संपत्ति 3। सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि और केवल यदि सदिशों में से एक को अन्य सदिशों के रैखिक संयोजन में विघटित किया जाता है।

संपत्ति 4. कोई भी 2 समरेख सदिश रैखिक रूप से निर्भर होते हैं और इसके विपरीत कोई भी 2 रैखिक रूप से आश्रित सदिश संरेख होते हैं।

संपत्ति 5. कोई भी 3 समतलीय सदिश रैखिक रूप से निर्भर होते हैं और, इसके विपरीत, कोई भी 3 रैखिक रूप से आश्रित सदिश समतलीय होते हैं।

संपत्ति 6. कोई भी 4 सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं।

निर्देशांक में वेक्टर लंबाईवेक्टर के प्रारंभ और अंत बिंदुओं के बीच की दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि स्थान A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2) में दो बिंदु दिए गए हों, तो .

यदि बिंदु M(x, y, z) खंड AB को l / m के अनुपात में विभाजित करता है, तो इस बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार परिभाषित किए गए हैं:

किसी विशेष मामले में, निर्देशांक खंड के मध्यजैसे स्थित हैं:

एक्स \u003d (एक्स 1 + एक्स 2) / 2; वाई = (वाई 1 + वाई 2)/2; जेड = (जेड 1 + जेड 2)/2।

निर्देशांकों में सदिशों पर रेखीय संक्रियाएँ।

समन्वय अक्षों का घूर्णन

नीचे मोड़निर्देशांक अक्ष ऐसे समन्वय परिवर्तन को समझते हैं जिसमें दोनों अक्षों को एक ही कोण से घुमाया जाता है, जबकि मूल और पैमाना अपरिवर्तित रहता है।

एक कोण α के माध्यम से ऑक्सी प्रणाली को घुमाकर एक नई प्रणाली O 1 x 1 y 1 प्राप्त करने दें।

चलो Μ विमान का एक मनमाना बिंदु है, (x; y) - पुरानी प्रणाली में इसके निर्देशांक और (x"; y") - नई प्रणाली में।

हम एक सामान्य ध्रुव O और ध्रुवीय अक्ष Ox और Οx 1 (पैमाना समान है) के साथ दो ध्रुवीय समन्वय प्रणालियों का परिचय देते हैं। ध्रुवीय त्रिज्या आर दोनों प्रणालियों में समान है, और ध्रुवीय कोण क्रमशः α + j और φ हैं, जहां φ नए ध्रुवीय प्रणाली में ध्रुवीय कोण है।

ध्रुवीय से आयताकार निर्देशांक में संक्रमण के सूत्र के अनुसार, हमारे पास है

लेकिन rcosj = x" और rsinφ = y"। इसीलिए

परिणामी सूत्र कहलाते हैं धुरी रोटेशन सूत्र . वे एक ही बिंदु M के नए निर्देशांक (x"; y") के संदर्भ में एक मनमाना बिंदु M के पुराने निर्देशांक (x; y) को निर्धारित करना संभव बनाते हैं, और इसके विपरीत।

यदि नई समन्वय प्रणाली O 1 x 1 y 1 को पुराने ऑक्सी से समन्वय अक्षों के समानांतर स्थानांतरण और कोण α द्वारा बाद में अक्षों के रोटेशन से प्राप्त किया जाता है (चित्र 30 देखें), तो एक सहायक प्रणाली को शुरू करना आसान है सूत्र प्राप्त करने के लिए

किसी मनमाने बिंदु के पुराने x और y निर्देशांकों को उसके नए x" और y" निर्देशांकों के संदर्भ में व्यक्त करना।

अंडाकार

एक दीर्घवृत्त एक तल में बिंदुओं का एक समूह है, प्रत्येक से दूरियों का योग

दो दिए गए बिंदुओं तक स्थिर है। इन बिंदुओं को foci और कहा जाता है

नामित हैं एफ 1तथा F2, उनके बीच की दूरी 2s,और प्रत्येक बिंदु से दूरियों का योग

टोटके - 2अ(शर्त के अनुसार 2ए>2सी). हम एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का निर्माण करते हैं ताकि एफ 1तथा F2एक्स-अक्ष पर थे, और मूल खंड के मध्य के साथ मेल खाता था F1F2. दीर्घवृत्त के समीकरण को व्युत्पन्न करते हैं। ऐसा करने के लिए, एक मनमाना बिंदु पर विचार करें एम (एक्स, वाई)दीर्घवृत्त। परिभाषा से: | F1M |+| F2M |=2अ. F1M = (एक्स + सी; वाई);F2M = (एक्स-सी; वाई)।

|F1M|=(एक्स+ सी)2 + वाई 2 ; |F2M| = (एक्स- सी)2 + वाई 2

(एक्स+ सी)2 + वाई 2 + (एक्स- सी)2 + वाई 2 =2अ(5)

x2+2cx+c2+y2=4a2-4a(एक्स- सी)2 + वाई 2 +x2-2cx+c2+y2

4cx-4a2=4a(एक्स- सी)2 + वाई 2

a2-cx=a(एक्स- सी)2 + वाई 2

a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

x2(a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)

इसलिये 2ए>2सी(त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है), तब ए2-सी2>0.

होने देना a2-c2=b2

निर्देशांक (a, 0), (−a, 0), (b, 0) और (−b, 0) वाले बिंदु दीर्घवृत्त के शीर्ष कहलाते हैं, मान a दीर्घवृत्त का प्रमुख अर्ध-अक्ष है, और मान b इसका लघु अर्ध-अक्ष है। बिंदु F1(c, 0) और F2(−c, 0) को foci कहा जाता है

दीर्घवृत्त, और फ़ोकस F1 को दाएँ कहा जाता है, और फ़ोकस F2 को बाएँ कहा जाता है। यदि बिंदु M दीर्घवृत्त से संबंधित है, तो दूरी |F1M| और |F2M| फोकल रेडी कहलाते हैं और क्रमशः r1 और r2 द्वारा निरूपित किए जाते हैं। मान e \u003d c / a को दीर्घवृत्त की विलक्षणता कहा जाता है। समीकरणों वाली सीधी रेखाएँ x =a/e

और x = -a/e को दीर्घवृत्त की नियता कहा जाता है (e = 0 के लिए, दीर्घवृत्त की कोई नियता नहीं है)।

विमान का सामान्य समीकरण

तीन चर x, y और z के साथ पहली डिग्री के सामान्य समीकरण पर विचार करें:

यह मानते हुए कि गुणांक A, B या C में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है, उदाहरण के लिए, हम समीकरण (12.4) को इस रूप में फिर से लिखते हैं

परिभाषाएं . होने देना एक, बीवास्तविक संख्याएँ हैं, मैंकुछ चरित्र है। एक सम्मिश्र संख्या प्रपत्र का एक रिकॉर्ड है एक+द्वि।

योगतथा गुणा जटिल संख्याओं के सेट पर संख्याएँ: (एक+द्वि)+(सी+डि)=(एक+सी)+(बी+घ) मैं,

(एक+द्वि) (सी+डि)=(एसी–बीडी)+(विज्ञापन+बीसी) मैं. .

प्रमेय 1 . जटिल संख्याओं का सेट सेजोड़ और गुणा की संक्रियाओं से एक क्षेत्र बनता है। जोड़ गुण

1) क्रमविनिमेयता बी: (एक+द्वि)+(सी+डि)=(एक+सी)+(बी+घ) मैं=(सी+डि)+(एक+द्वि).

2) संबद्धता :[(एक+द्वि)+(सी+दी)]+(इ+फाई)=(एक+सी+इ)+(बी+डी+च) मैं=(एक+द्वि)+[(सी+डि)+(इ+फाई)].

3) अस्तित्व तटस्थ तत्व :(एक+द्वि)+(0 +0i)=(एक+द्वि). संख्या 0 +0 मैं हम शून्य कहेंगे और निरूपित करेंगे 0 .

4) अस्तित्व विपरीत तत्व : (एक+द्वि)+(–एक–द्वि)=0 +0i=0 .

5) गुणन की क्रमविनिमेयता : (एक+द्वि) (सी+डि)=(एसी–बीडी)+(बीसी+विज्ञापन) मैं=(सी+डी) (ए+द्वि).

6) गुणन की साहचर्यता :यदि जेड 1=एक+द्वि, z2=सी+डि, जेड 3=इ+फाई, फिर (जेड 1 जेड 2) जेड 3=जेड 1 (जेड 2 जेड 3).

7) वितरण: यदि जेड 1=एक+द्वि, z2=सी+डि, जेड 3=इ+फाई, फिर जेड 1 (जेड 2+z3)=जेड 1 जेड 2+जेड 1 जेड 3.

8) गुणन के लिए तटस्थ तत्व :(एक+द्वि) (1+0i)=(ए 1–बी 0)+(एक 0+बी 1) मैं=एक+द्वि.

9) संख्या 1 +0i=1 - इकाई।

9) अस्तित्व उलटा तत्व : "ज़¹ 0 $ज़ेड –1 : जेड –1 =1 .

होने देना जेड=एक+द्वि. वास्तविक संख्या एक, बुलाया वैध, एक बी - काल्पनिक भाग जटिल संख्या जेड. नोटेशन का उपयोग किया जाता है: एक=रेज, बी=imz.

यदि एक बी=0 , फिर जेड=एक+ 0i=एकएक वास्तविक संख्या है। इसलिए, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय आरसम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय का भाग है सी: आर आई सी.

टिप्पणी:मैं 2=(0 +1i)(0+1i)=–1 +0i=–1 . इस संख्या गुण का उपयोग करना मैं, साथ ही साथ प्रमेय 1 में सिद्ध किए गए संचालन के गुण, सामान्य नियमों के अनुसार जटिल संख्याओं के साथ संचालन कर सकते हैं, प्रतिस्थापित कर सकते हैं मैं 2पर - 1 .

टिप्पणी. सम्मिश्र संख्याओं के लिए संबंध £, ³ ("इससे कम", "से अधिक") परिभाषित नहीं हैं।

2 त्रिकोणमितीय संकेतन .

अंकन z = a+bi कहा जाता है बीजगणितीयएक जटिल संख्या का अंकन . एक चुने हुए कार्तीय समन्वय प्रणाली के साथ एक विमान पर विचार करें। आइए संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं जेडनिर्देशांक के साथ बिंदु (ए, बी). फिर वास्तविक संख्याएँ एक=एक+0iअक्ष बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाएगा बैल- यह कहा जाता है वैध एक्सिस। एक्सिस ओएबुलाया काल्पनिक धुरी, इसके अंक फॉर्म की संख्या से मेल खाते हैं द्वि, जिन्हें कभी-कभी कहा जाता है विशुद्ध रूप से काल्पनिक . पूरे विमान को कहा जाता है जटिल विमान .नंबर कहा जाता है मापांक नंबर जेड: ,

ध्रुवीय कोण जेबुलाया बहस नंबर जेड: जे=argz.

तर्क शब्द तक निर्धारित किया जाता है 2kp; मूल्य जिसके लिए - पी< j £ p , कहा जाता है मुख्य महत्व बहस। नंबर आर, जेबिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक हैं जेड. यह स्पष्ट है कि एक=आर cosj, बी=आर सिंज, और हमें मिलता है: जेड=एक+बी मैं=आर (cosj+मैं सिंज). त्रिकोणमितीय रूप एक जटिल संख्या का अंकन।

संयुग्मी संख्याएँ . एक जटिल संख्या को एक संख्या का संयुग्म कहा जाता है।जेड = एक + द्वि . यह स्पष्ट है कि । गुण : .

टिप्पणी. संयुग्मी संख्याओं का योग और गुणनफल वास्तविक संख्याएँ होती हैं: