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थेल्स का प्रमेय आधारों को जोड़ने वाला खंड है। थेल्स प्रमेय

प्रमेय में छेदक रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था पर कोई प्रतिबंध नहीं है (यह प्रतिच्छेदी रेखाओं और समांतर रेखाओं दोनों के लिए सत्य है)। यह भी मायने नहीं रखता है कि रेखाखंड छेदक पर कहाँ हैं।



समानांतर रेखाओं के मामले में सबूत

आइए एक रेखा BC खींचते हैं। कोण एबीसी और बीसीडी समानांतर रेखाओं एबी और सीडी और छेदक बीसी के नीचे स्थित आंतरिक क्रॉस के बराबर हैं, और कोण एसीबी और सीबीडी समानांतर रेखाओं एसी और बीडी और छेदक बीसी के नीचे स्थित आंतरिक क्रॉस के बराबर हैं। फिर, त्रिभुजों की समानता की दूसरी कसौटी के अनुसार, त्रिभुज ABC और DCB सर्वांगसम हैं। इसका मतलब है कि एसी = बीडी और एबी = सीडी। ■

भी मौजूद है आनुपातिक खंड प्रमेय:

समानांतर रेखाएँ समानुपाती खंडों को छेदकों पर काटती हैं:

\frac(A_1A_2)(B_1B_2)=\frac(A_2A_3)(B_2B_3)=\frac(A_1A_3)(B_1B_3).

थेल्स प्रमेय आनुपातिक खंड प्रमेय का एक विशेष मामला है, क्योंकि समान खंडों को 1 के बराबर आनुपातिकता गुणांक वाले आनुपातिक खंड माना जा सकता है।

उलटा प्रमेय

यदि थेल्स प्रमेय में समान खंड एक शीर्ष से शुरू होते हैं (अक्सर अंदर स्कूल साहित्यइस तरह के सूत्रीकरण का उपयोग किया जाता है), तो उलटा प्रमेय भी सत्य हो जाता है। प्रतिच्छेदी छेदकों के लिए, इसे निम्नानुसार सूत्रित किया जाता है:

इस प्रकार (अंजीर देखें।) इस तथ्य से कि \frac(CB_1)(CA_1)=\frac(B_1B_2)(A_1A_2)=\ldots = (\rm idem)यह इस प्रकार है कि प्रत्यक्ष A_1B_1||A_2B_2||\ldots.

यदि छेदक समानांतर हैं, तो यह आवश्यक है कि आपस में दोनों छेदकों पर खंडों की समानता की आवश्यकता हो, अन्यथा यह कथन गलत हो जाता है (एक प्रतिउदाहरण आधारों के मध्यबिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा द्वारा प्रतिच्छेदित एक चतुर्भुज है)।

विविधताएं और सामान्यीकरण

निम्नलिखित कथन सोलर्टिंस्की के लेम्मा के लिए दोहरा है:

  • थेल्स के प्रमेय का उपयोग आज भी समुद्री नेविगेशन में किया जाता है क्योंकि यह नियम है कि यदि जहाज एक-दूसरे की ओर बढ़ते रहते हैं तो स्थिर गति से चलने वाले जहाजों के बीच टकराव अपरिहार्य है।
  • रूसी-भाषा साहित्य के बाहर, थेल्स प्रमेय को कभी-कभी प्लैनिमेट्री का एक और प्रमेय कहा जाता है, अर्थात्, यह कथन कि एक वृत्त के व्यास पर आधारित एक खुदा हुआ कोण सही है। इस प्रमेय की खोज का श्रेय वास्तव में थेल्स को दिया जाता है, जैसा कि प्रोक्लस द्वारा प्रमाणित है।

"थ्योरम ऑफ़ थेल्स" लेख पर एक समीक्षा लिखें

साहित्य

  • अतनास्यान एल.एस. और अन्य।ज्यामिति 7-9। - ईडी। तीसरा। - एम।: ज्ञानोदय, 1992।

टिप्पणियाँ

यह सभी देखें

  • एक वृत्त के व्यास पर आधारित कोण पर थेल्स का प्रमेय

थेल्स प्रमेय की विशेषता का एक अंश

"मैं कुछ नहीं सोचता, मैं इसे नहीं समझता ...
- रुको, सोन्या, तुम सब कुछ समझ जाओगी। देखें कि वह किस तरह का व्यक्ति है। मेरे या उसके बारे में बुरा मत सोचो।
"मैं किसी के बारे में बुरी बातें नहीं सोचता: मैं सभी से प्यार करता हूं और सभी के लिए खेद महसूस करता हूं। लेकिन मैं क्या करूँ?
नताशा ने जिस कोमल लहजे में उससे बात की, सोन्या ने हार नहीं मानी। नताशा की अभिव्यक्ति जितनी नरम और खोजी थी, सोन्या का चेहरा उतना ही गंभीर और कठोर था।
"नताशा," उसने कहा, "आपने मुझसे बात नहीं करने के लिए कहा, मैंने नहीं किया, अब आप खुद शुरू हो गए हैं। नताशा, मुझे उस पर विश्वास नहीं है। यह रहस्य क्यों?
- फिर फिर! नताशा ने बाधित किया।
- नताशा, मुझे तुम्हारे लिए डर लग रहा है।
- किससे डरना?
"मुझे डर है कि तुम खुद को बर्बाद कर लोगे," सोन्या ने निर्णायक रूप से कहा, जो उसने कहा उससे खुद डर गई।
नताशा के चेहरे पर फिर से गुस्सा झलक रहा था।
“और मैं नष्ट कर दूंगा, मैं नष्ट कर दूंगा, मैं जितनी जल्दी हो सके खुद को नष्ट कर दूंगा। तुमसे मतलब। तुम्हारे लिए नहीं, मेरे लिए यह बुरा होगा। छोड़ो, मुझे छोड़ दो। मुझे आपसे नफ़रत है।
- नताशा! सोन्या ने डर के मारे पुकारा।
- मुझे इससे नफरत है, मुझे इससे नफरत है! और तुम हमेशा के लिए मेरे दुश्मन हो!
नताशा कमरे से बाहर भाग गई।
नताशा ने अब सोन्या से बात नहीं की और उससे परहेज किया। उत्तेजित आश्चर्य और आपराधिकता की एक ही अभिव्यक्ति के साथ, वह कमरों में चली गई, पहले यह और फिर दूसरा व्यवसाय और तुरंत उन्हें छोड़ दिया।
सोन्या के लिए चाहे कितना भी मुश्किल क्यों न हो, उसने अपनी दोस्त पर नज़रें गड़ाए रखीं।
जिस दिन गिनती वापस आने वाली थी, उस दिन की पूर्व संध्या पर, सोन्या ने देखा कि नताशा पूरी सुबह लिविंग रूम की खिड़की पर बैठी थी, जैसे कि किसी चीज का इंतजार कर रही हो और उसने गुजरते हुए फौजी को किसी तरह का संकेत दिया हो, जिसे सोन्या ने अनातोले समझ लिया।
सोन्या ने अपने दोस्त को और भी अधिक ध्यान से देखना शुरू किया और देखा कि नताशा रात के खाने और शाम के समय एक अजीब और अप्राकृतिक अवस्था में थी (उसने उसके द्वारा पूछे गए सवालों का अनुचित तरीके से जवाब दिया, शुरू किया और वाक्यांशों को पूरा नहीं किया, हर बात पर हंसी आई)।
चाय के बाद, सोन्या ने नताशा के दरवाजे पर एक डरपोक नौकरानी को उसकी प्रतीक्षा करते देखा। उसने इसे जाने दिया और दरवाजे पर छिपकर सुनने के बाद पता चला कि पत्र फिर से सौंप दिया गया था। और अचानक सोन्या को यह स्पष्ट हो गया कि नताशा के पास आज शाम के लिए कुछ भयानक योजना थी। सोन्या ने उसका दरवाजा खटखटाया। नताशा ने उसे अंदर नहीं जाने दिया।
"वह उसके साथ भाग जाएगी! सोन्या ने सोचा। वह कुछ भी करने में सक्षम है। आज उसके चेहरे पर कुछ विशेष दयनीय और दृढ़ निश्चय था। अपने चाचा को अलविदा कहते हुए वह फूट-फूट कर रोने लगी, सोन्या ने याद किया। हाँ, यह सही है, वह उसके साथ चलती है - लेकिन मुझे क्या करना चाहिए? सोन्या ने सोचा, अब उन संकेतों को याद कर रही है जो स्पष्ट रूप से साबित करते हैं कि नताशा का कुछ भयानक इरादा क्यों था। "कोई गिनती नहीं है। मुझे क्या करना चाहिए, कुरागिन को पत्र लिखकर उससे स्पष्टीकरण मांगना चाहिए? लेकिन उसे जवाब देने के लिए कौन कहता है? पियरे को लिखें, जैसा कि राजकुमार आंद्रेई ने एक दुर्घटना के मामले में पूछा था? ... लेकिन शायद, वास्तव में, उसने पहले ही बोल्कॉन्स्की को मना कर दिया था (उसने कल राजकुमारी मरिया को एक पत्र भेजा था)। कोई चाचा नहीं हैं! मरिया दिमित्रिग्ना को बताना सोन्या को भयानक लग रहा था, जो नताशा में बहुत विश्वास करती थी। लेकिन एक तरह से या किसी अन्य, सोन्या ने एक अंधेरे गलियारे में खड़े होकर सोचा: अभी या कभी भी यह साबित करने का समय नहीं आया है कि मुझे उनके परिवार के अच्छे कामों और निकोलस से प्यार है। नहीं, मैं कम से कम तीन रातों तक नहीं सोऊंगी, लेकिन मैं इस गलियारे को नहीं छोड़ूंगी और उसे जबरदस्ती अंदर नहीं आने दूंगी, और उनके परिवार पर शर्म नहीं आने दूंगी, ”उसने सोचा।

अनातोले हाल के समय मेंडोलोखोव चले गए। रोस्तोवा के अपहरण की योजना पहले से ही डोलोखोव द्वारा कई दिनों तक सोची और तैयार की गई थी, और जिस दिन सोन्या ने नताशा को दरवाजे पर सुना, उसकी रक्षा करने का फैसला किया, इस योजना को अंजाम दिया जाना था। नताशा ने शाम को दस बजे कुरागिन के पीछे के बरामदे में जाने का वादा किया। कुरागिन को उसे एक तैयार ट्रोइका में रखना था और उसे मास्को से 60 मील दूर कामेंका गाँव ले जाना था, जहाँ एक छंटे हुए पुजारी को तैयार किया गया था, जो उनसे शादी करने वाला था। कामेंका में, एक सेट-अप तैयार था, जो उन्हें वार्शवस्काया सड़क पर ले जाने वाला था, और वहाँ उन्हें डाक पर विदेश जाना था।
अनातोले के पास एक पासपोर्ट था, और एक यात्री का, और दस हजार पैसे उसकी बहन से लिए गए थे, और दस हजार डोलोखोव के माध्यम से उधार लिए गए थे।
दो गवाह - खवोस्तिकोव, पूर्व क्लर्क, जिसे डोलोखोव और मकारिन खेल खेलते थे, एक सेवानिवृत्त हसर, एक नेकदिल और कमजोर आदमी, जिसे कुरागिन के लिए असीम प्यार था - पहले कमरे में चाय पर बैठे थे।
डोलोखोव के बड़े कार्यालय में, फ़ारसी कालीनों, भालू की खाल और हथियारों से दीवार से छत तक सजाया गया, डोलोखोव एक खुले ब्यूरो के सामने एक यात्रा बेशमेट और जूते में बैठा था, जिस पर बिल और पैसों की गड्डी रखी थी। अनातोले, अपनी बिना बटन वाली वर्दी में, उस कमरे से चला गया जहाँ गवाह बैठे थे, अध्ययन के माध्यम से पीछे के कमरे में गए, जहाँ उसका फ्रांसीसी फुटमैन और अन्य लोग आखिरी सामान पैक कर रहे थे। डोलोखोव ने पैसे गिने और उसे लिख लिया।
"ठीक है," उन्होंने कहा, "खवोस्तिकोव को दो हजार दिए जाने चाहिए।
- अच्छा, मुझे जाने दो, - अनातोले ने कहा।
- मकारका (यही वे मकरिना कहते हैं), यह आग के माध्यम से और पानी में आपके लिए निस्वार्थ रूप से है। खैर, स्कोर खत्म हो गया है, - डोलोखोव ने उसे एक नोट दिखाते हुए कहा। - इसलिए?
"हाँ, ज़ाहिर है, ऐसा ही है," अनातोले ने कहा, जाहिर तौर पर डोलोखोव की बात नहीं सुन रहा था और एक मुस्कान के साथ जो उसके चेहरे को नहीं छोड़ रहा था, उसके आगे देख रहा था।

यह मकबरा छोटा है, लेकिन इसकी महिमा अपार है।
इसमें आपके सामने कई दिमाग वाले थेल्स छिपे हुए हैं।

मिलेटस के थेल्स की कब्र पर शिलालेख

ऐसी तस्वीर की कल्पना करो। 600 ईसा पूर्व मिस्र। आपके सामने एक विशाल है मिस्र का पिरामिड. फिरौन को आश्चर्यचकित करने और उसके पसंदीदा लोगों में बने रहने के लिए, आपको इस पिरामिड की ऊंचाई मापने की आवश्यकता है। आपके पास ... आपके निपटान में कुछ भी नहीं है। आप निराशा में पड़ सकते हैं, या आप क्या कर सकते हैं मिलेटस के थेल्स: त्रिभुज समानता प्रमेय का प्रयोग करें। हाँ, यह पता चला है कि सब कुछ काफी सरल है। मिलेटस के थेल्स ने तब तक इंतजार किया जब तक उसकी छाया की लंबाई और उसकी ऊंचाई का मेल नहीं हुआ, और फिर, त्रिकोण समानता प्रमेय का उपयोग करते हुए, पिरामिड की छाया की लंबाई पाई, जो तदनुसार, पिरामिड द्वारा डाली गई छाया के बराबर थी।

यह कौन है मिलेटस के थेल्स? एक व्यक्ति जिसने पुरातनता के "सात बुद्धिमान पुरुषों" में से एक के रूप में ख्याति प्राप्त की? मिलेटस के थेल्स - प्राचीन यूनानी दार्शनिक, जिन्होंने खगोल विज्ञान के साथ-साथ गणित और भौतिकी के क्षेत्र में सफलता से खुद को प्रतिष्ठित किया। उनके जीवन के वर्ष केवल लगभग स्थापित किए गए हैं: 625-645 ई.पू

थेल्स के खगोल विज्ञान के ज्ञान के प्रमाणों में निम्नलिखित उदाहरण है। 28 मई, 585 ई.पूमिलिटस द्वारा भविष्यवाणी सूर्य ग्रहणलिडा और मीडिया के बीच 6 साल पुराने युद्ध को समाप्त करने में मदद की। इस घटना ने मेदियों को इतना भयभीत कर दिया कि वे लिडियनों के साथ शांति स्थापित करने के लिए प्रतिकूल परिस्थितियों के लिए सहमत हो गए।

थेल्स को एक साधन संपन्न व्यक्ति के रूप में दर्शाने वाली किंवदंती काफी व्यापक रूप से जानी जाती है। थेल्स ने अक्सर अपनी गरीबी के बारे में भद्दे कमेंट्स सुने। एक बार उन्होंने यह साबित करने का फैसला किया कि दार्शनिक चाहें तो बहुतायत में रह सकते हैं। सर्दियों में भी, थेल्स ने सितारों को देखकर यह निर्धारित किया कि गर्मियों में ऐसा होगा अच्छी फसलजैतून। फिर उसने मिलेतुस और कियुस में तेल के कुण्ड किराए पर लिए। यह उसे काफी सस्ते में मिला, क्योंकि सर्दियों में व्यावहारिक रूप से उनकी कोई मांग नहीं होती है। जब जैतून की भरपूर फसल हुई, तो थेल्स ने अपने तेल कुण्डों को किराए पर देना शुरू कर दिया। जुटाया हुआ। एक बड़ी संख्या कीइस पद्धति द्वारा धन को प्रमाण के रूप में माना जाता था कि दार्शनिक अपने दिमाग से कमा सकते हैं, लेकिन उनका व्यवसाय ऐसी सांसारिक समस्याओं से अधिक है। वैसे, इस किंवदंती को खुद अरस्तू ने दोहराया था।

ज्यामिति के लिए, उनकी कई "खोजों" को मिस्रियों से उधार लिया गया था। और फिर भी ग्रीस को ज्ञान के इस हस्तांतरण को थेल्स ऑफ़ मिलेटस के मुख्य गुणों में से एक माना जाता है।

थेल्स की उपलब्धियाँ निम्नलिखित का सूत्रीकरण और प्रमाण हैं प्रमेय:

  • लंबवत कोण बराबर हैं;
  • समान त्रिभुज वे होते हैं जिनमें भुजा और दो आसन्न कोण क्रमशः बराबर होते हैं;
  • एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोण बराबर होते हैं;
  • व्यास वृत्त को समद्विभाजित करता है;
  • व्यास पर आधारित एक खुदा हुआ कोण समकोण होता है।

एक अन्य प्रमेय का नाम थेल्स के नाम पर रखा गया है, जो ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में उपयोगी है। इसकी सामान्यीकृत और है निजी दृश्य, व्युत्क्रम प्रमेय, शब्द भी स्रोत के आधार पर थोड़ा भिन्न हो सकते हैं, लेकिन उन सभी का अर्थ समान रहता है। आइए इस प्रमेय पर विचार करें।

यदि समांतर रेखाएँ किसी कोण की भुजाओं को काटती हैं और इसके एक किनारे पर समान खंडों को काटती हैं, तो वे इसके दूसरी ओर समान खंडों को काटती हैं।

मान लें कि अंक ए 1, ए 2, ए 3 कोण के एक तरफ समांतर रेखाओं के चौराहे के बिंदु हैं, और बी 1, बी 2, बी 3 कोण के दूसरी तरफ समांतर रेखाओं के चौराहे के बिंदु हैं। . यह साबित करना आवश्यक है कि यदि ए 1 ए 2 \u003d ए 2 ए 3, तो बी 1 बी 2 \u003d बी 2 बी 3।

बिंदु B 2 से होकर रेखा A 1 A 2 के समांतर एक रेखा खींचिए। आइए एक नई सीधी रेखा С 1 С 2 नामित करें। समांतर चतुर्भुज A 1 C 1 B 2 A 2 और A 2 B 2 C 2 A 3 पर विचार करें।

समांतर चतुर्भुज गुण हमें यह दावा करने की अनुमति देते हैं कि A1A2 = C 1 B 2 और A 2 A 3 = B 2 C 2। और चूँकि हमारी स्थिति के अनुसार A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, तब C 1 B 2 \u003d B 2 C 2।

और अंत में, त्रिभुजों ∆ C 1 B 2 B 1 और ∆ C 2 B 2 B 3 पर विचार करें।

सी 1 बी 2 = बी 2 सी 2 (ऊपर सिद्ध)।

और इसका मतलब यह है कि Δ सी 1 बी 2 बी 1 और Δ सी 2 बी 2 बी 3 त्रिकोण की समानता के दूसरे संकेत (पक्ष और आसन्न कोणों के साथ) के बराबर होंगे।

इस प्रकार, थेल्स प्रमेय सिद्ध होता है।

इस प्रमेय के उपयोग से ज्यामितीय समस्याओं के समाधान में काफी सुविधा और तेजी आएगी। गणित के इस मनोरंजक विज्ञान में महारत हासिल करने के लिए शुभकामनाएँ!

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

समानांतर और छेदक पर प्लैनिमेट्री प्रमेय।

रूसी-भाषा साहित्य के बाहर, थेल्स प्रमेय को कभी-कभी प्लैनिमेट्री का एक और प्रमेय कहा जाता है, अर्थात्, यह कथन कि एक वृत्त के व्यास पर आधारित एक खुदा हुआ कोण सही है। इस प्रमेय की खोज का श्रेय वास्तव में थेल्स को दिया जाता है, जैसा कि प्रोक्लस द्वारा प्रमाणित है।

शब्दों [ | ]

यदि दो सीधी रेखाओं में से एक पर कई समान खंडों को क्रमिक रूप से अलग रखा जाता है और दूसरी सीधी रेखा को पार करते हुए उनके सिरों के माध्यम से समानांतर रेखाएँ खींची जाती हैं, तो वे दूसरी सीधी रेखा पर समान खंडों को काट देंगे।

एक अधिक सामान्य फॉर्मूलेशन, जिसे भी कहा जाता है आनुपातिक खंड प्रमेय

समानांतर रेखाएँ समानुपाती खंडों को छेदकों पर काटती हैं:

ए 1 ए 2 बी 1 बी 2 = ए 2 ए 3 बी 2 बी 3 = ए 1 ए 3 बी 1 बी 3। (\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

टिप्पणियां [ | ]

  • थेल्स प्रमेय आनुपातिक खंड प्रमेय का एक विशेष मामला है, क्योंकि समान खंडों को 1 के बराबर आनुपातिकता गुणांक वाले आनुपातिक खंड माना जा सकता है।

सेकेंट के मामले में सबूत

खंडों के असंबद्ध युग्मों के साथ एक संस्करण पर विचार करें: कोण को सीधी रेखाओं द्वारा प्रतिच्छेदित होने दें ए ए 1 | | बी बी 1 | | सी सी 1 | | डी डी 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1))और कहाँ ए बी = सी डी (\displaystyle AB=CD).

समानांतर रेखाओं के मामले में सबूत

चलो एक सीधी रेखा खींचते हैं ईसा पूर्व. कोनों एबीसीतथा बीसीडीसमांतर रेखाओं पर स्थित आंतरिक क्रॉस के बराबर हैं अबतथा सीडीऔर छेदक ईसा पूर्व, और कोण एसीबीतथा सीबीडीसमांतर रेखाओं पर स्थित आंतरिक क्रॉस के बराबर हैं एसीतथा बी.डीऔर छेदक ईसा पूर्व. फिर, त्रिभुजों की समानता के लिए दूसरी कसौटी के अनुसार, त्रिभुज एबीसीतथा डीसीबीबराबर हैं। इसलिए यह इस प्रकार है एसी = बी.डीतथा अब = सीडी. ■

विविधताएं और सामान्यीकरण[ | ]

उलटा प्रमेय[ | ]

यदि थेल्स प्रमेय में समान खंड शीर्ष से शुरू होते हैं (यह सूत्रीकरण अक्सर स्कूली साहित्य में उपयोग किया जाता है), तो विलोम प्रमेय भी सत्य होगा। प्रतिच्छेदी छेदकों के लिए, इसे निम्नानुसार सूत्रित किया जाता है:

व्युत्क्रम थेल्स प्रमेय में, यह महत्वपूर्ण है कि समान खंड शीर्ष से शुरू हों

इस प्रकार (अंजीर देखें।) इस तथ्य से कि C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), उसका अनुसरण करता है ए 1 बी 1 | | ए 2 बी 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).

यदि छेदक समानांतर हैं, तो यह आवश्यक है कि आपस में दोनों छेदकों पर खंडों की समानता की आवश्यकता हो, अन्यथा यह कथन गलत हो जाता है (एक प्रतिउदाहरण आधारों के मध्यबिंदुओं से होकर गुजरने वाली रेखा द्वारा प्रतिच्छेदित एक चतुर्भुज है)।

नेविगेशन में इस प्रमेय का उपयोग किया जाता है: यदि एक जहाज से दूसरे जहाज की दिशा को बनाए रखा जाता है तो एक स्थिर गति से चलने वाले जहाजों का टकराव अपरिहार्य है।

लेम्मा ऑफ सोलर्टिंस्की[ | ]

निम्नलिखित कथन सोलर्टिंस्की के लेम्मा के लिए दोहरा है:

होने देना च (\displaystyle f)- रेखा के बिंदुओं के बीच अनुमानित पत्राचार एल (\displaystyle एल)और प्रत्यक्ष मी (\डिस्प्लेस्टाइल एम). फिर लाइनों का सेट कुछ (संभवतः पतित) शांकव खंड के लिए स्पर्शरेखाओं का सेट होगा।

थेल्स प्रमेय के मामले में, शंकु समानांतर रेखाओं की दिशा के अनुरूप अनंत पर एक बिंदु होगा।

यह कथन, बदले में, निम्नलिखित कथन का एक सीमित मामला है:

होने देना च (\displaystyle f)एक शांकव का प्रक्षेपी परिवर्तन है। फिर लाइनों के सेट का लिफाफा एक्स एफ (एक्स) (\displaystyle Xf(X))एक शांकव (संभवतः पतित) होगा।

| ]

पाठ विषय

पाठ मकसद

  • नई परिभाषाओं से परिचित हों और पहले से अध्ययन की गई कुछ परिभाषाओं को याद करें।
  • एक वर्ग के गुणों को निरूपित करें और सिद्ध करें, इसके गुणों को सिद्ध करें।
  • समस्याओं को हल करने में आकृतियों के गुणों को लागू करना सीखें।
  • विकासशील - छात्रों का ध्यान, दृढ़ता, दृढ़ता, तार्किक सोच, गणितीय भाषण विकसित करना।
  • शैक्षिक - एक पाठ के माध्यम से, एक-दूसरे के प्रति चौकस रवैया अपनाने के लिए, साथियों को सुनने की क्षमता, आपसी सहायता, स्वतंत्रता पैदा करने के लिए।

पाठ मकसद

  • छात्रों की समस्याओं को हल करने की क्षमता की जाँच करें।

शिक्षण योजना

  1. इतिहास संदर्भ।
  2. थेल्स एक गणितज्ञ और उनके कार्यों के रूप में।
  3. याद करके अच्छा लगा।

इतिहास संदर्भ

  • थेल्स के प्रमेय का उपयोग आज भी समुद्री नेविगेशन में किया जाता है क्योंकि यह नियम है कि यदि जहाज एक-दूसरे की ओर बढ़ते रहते हैं तो स्थिर गति से चलने वाले जहाजों के बीच टकराव अपरिहार्य है।


  • रूसी-भाषा साहित्य के बाहर, थेल्स प्रमेय को कभी-कभी प्लैनिमेट्री का एक और प्रमेय कहा जाता है, अर्थात्, यह कथन कि एक वृत्त के व्यास पर आधारित एक खुदा कोण सही है। इस प्रमेय की खोज का श्रेय वास्तव में थेल्स को दिया जाता है, जैसा कि प्रोक्लस द्वारा प्रमाणित है।
  • थेल्स ने मिस्र में ज्यामिति की मूल बातें समझीं।

इसके लेखक की खोज और गुण

क्या आप जानते हैं कि मिलेटस के थेल्स उस समय ग्रीस के सात सबसे प्रसिद्ध संतों में से एक थे। उन्होंने आयोनियन स्कूल की स्थापना की। इस स्कूल में थेल्स ने जिस विचार को बढ़ावा दिया वह सभी चीजों की एकता थी। ऋषि का मानना ​​था कि एक ही स्रोत है जिससे सभी चीजों की उत्पत्ति हुई है।

थेल्स ऑफ मिलेटस की महान योग्यता वैज्ञानिक ज्यामिति का निर्माण है। यह महान शिक्षण मिस्र की माप की कला से कटौतीत्मक ज्यामिति बनाने में सक्षम था, जिसका आधार आम जमीन है।

ज्यामिति के अपने विशाल ज्ञान के अलावा, थेल्स खगोल विज्ञान में भी पारंगत थे। एम सूर्य के पूर्ण ग्रहण की भविष्यवाणी करने वाले पहले व्यक्ति थे। लेकिन यह आधुनिक दुनिया में नहीं, बल्कि दूर के 585 में, हमारे युग से पहले भी हुआ था।

मिलेटस के थेल्स वह व्यक्ति थे जिन्होंने महसूस किया कि उरसा माइनर नक्षत्र द्वारा उत्तर को सटीक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। लेकिन यह उनकी अंतिम खोज नहीं थी, क्योंकि वे वर्ष की लंबाई को सटीक रूप से निर्धारित करने में सक्षम थे, इसे तीन सौ पैंसठ दिनों में विभाजित कर सकते थे, और विषुवों का समय भी निर्धारित कर सकते थे।

थेल्स वास्तव में एक व्यापक रूप से विकसित और बुद्धिमान व्यक्ति थे। एक उत्कृष्ट गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और खगोलशास्त्री के रूप में प्रसिद्ध होने के अलावा, वह एक वास्तविक मौसम विज्ञानी के रूप में भी जैतून की फसल की सटीक भविष्यवाणी करने में सक्षम थे।

लेकिन सबसे उल्लेखनीय बात यह है कि थेल्स ने अपने ज्ञान को कभी भी केवल वैज्ञानिक और सैद्धांतिक क्षेत्र तक ही सीमित नहीं रखा, बल्कि व्यवहार में हमेशा अपने सिद्धांतों के साक्ष्य को मजबूत करने का प्रयास किया। और सबसे दिलचस्प बात यह है कि महान ऋषि ने अपने ज्ञान के किसी एक क्षेत्र पर ध्यान केंद्रित नहीं किया, उनकी रुचि की अलग-अलग दिशाएँ थीं।

तब भी थेल्स नाम ऋषि का घरेलू नाम बन गया। यूनान के लिए उसका महत्व और महत्व उतना ही महान था जितना कि रूस के लिए लोमोनोसोव का नाम। बेशक, उनके ज्ञान की व्याख्या अलग-अलग तरीकों से की जा सकती है। लेकिन हम निश्चित रूप से कह सकते हैं कि उन्हें सरलता और व्यावहारिक सरलता, और कुछ हद तक, वैराग्य दोनों की विशेषता थी।

मिलेटस के थेल्स एक उत्कृष्ट गणितज्ञ, दार्शनिक, खगोलशास्त्री थे, यात्रा करना पसंद करते थे, एक व्यापारी और उद्यमी थे, व्यापार में लगे हुए थे, और एक अच्छे इंजीनियर, राजनयिक, द्रष्टा भी थे और राजनीतिक जीवन में सक्रिय रूप से भाग लेते थे।

यहां तक ​​कि उन्होंने एक कर्मचारी और एक छाया की मदद से पिरामिड की ऊंचाई निर्धारित करने में भी कामयाबी हासिल की। और ऐसा ही था। एक बढ़िया धूप वाले दिन, थेल्स ने अपने कर्मचारियों को उस सीमा पर रखा जहाँ पिरामिड की छाया समाप्त हुई थी। फिर वह तब तक प्रतीक्षा करता रहा जब तक कि उसकी छड़ी की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर न हो गई, और उसने पिरामिड की छाया की लंबाई नापी। तो, ऐसा लगता है कि थेल्स ने केवल पिरामिड की ऊंचाई निर्धारित की और साबित किया कि एक छाया की लंबाई दूसरी छाया की लंबाई से संबंधित है, जिस तरह पिरामिड की ऊंचाई कर्मचारियों की ऊंचाई से संबंधित है। इसने खुद फिरौन अमासी को मारा।

थेल्स के लिए धन्यवाद, उस समय ज्ञात सभी ज्ञान को वैज्ञानिक रुचि के क्षेत्र में स्थानांतरित कर दिया गया था। वह अवधारणाओं के एक निश्चित समूह को उजागर करते हुए परिणामों को वैज्ञानिक उपभोग के लिए उपयुक्त स्तर पर लाने में सक्षम था। और शायद थेल्स की मदद से प्राचीन दर्शन का बाद का विकास शुरू हुआ।

थेल्स प्रमेय गणित में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह न केवल प्राचीन मिस्र और बेबीलोन में, बल्कि अन्य देशों में भी जाना जाता था और गणित के विकास का आधार था। हां, और रोजमर्रा की जिंदगी में, इमारतों, संरचनाओं, सड़कों आदि के निर्माण में, थेल्स प्रमेय के बिना नहीं कर सकते।

संस्कृति में थेल्स प्रमेय

थेल्स प्रमेय न केवल गणित में प्रसिद्ध हुआ, बल्कि इसे संस्कृति से भी परिचित कराया गया। एक बार, अर्जेंटीना के संगीत समूह लेस लुथिएर्स (स्पेनिश) ने दर्शकों के लिए एक गीत प्रस्तुत किया, जिसे उन्होंने एक प्रसिद्ध प्रमेय को समर्पित किया। लेस लुथियर्स के सदस्यों ने विशेष रूप से इस गीत के लिए अपने वीडियो क्लिप में आनुपातिक खंडों के प्रत्यक्ष प्रमेय के लिए प्रमाण प्रदान किया।

प्रशन

  1. किन रेखाओं को समानांतर कहा जाता है?
  2. व्यवहार में थेल्स प्रमेय कहाँ लागू होता है?
  3. थेल्स प्रमेय किससे संबंधित है?

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

  1. बच्चों के लिए विश्वकोश। टी.11. गणित / प्रधान संपादक एम.डी. अक्सेनोवा.-एम .: अवंता +, 2001।
  2. "एकीकृत राज्य परीक्षा 2006। गणित। छात्रों / Rosobrnadzor, ISOP - M की तैयारी के लिए शैक्षिक और प्रशिक्षण सामग्री: बुद्धि-केंद्र, 2006 "
  3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "ज्यामिति, 7 - 9: शैक्षिक संस्थानों के लिए एक पाठ्यपुस्तक"
विषय > गणित > गणित ग्रेड 8

बुलाया अनुपात. साथ ही वे कहते हैं कि:

x 1, x 2 से उसी तरह संबंधित है जैसे y 1, y 2 से संबंधित है,

संख्याओं x 1 और x 2 का अनुपात संख्याओं y 1 और y 2 के अनुपात के बराबर है,

संख्याएँ x 1 और x 2 उसी तरह संबंधित हैं जैसे संख्याएँ y 1 और y 2,

या अंत में

नंबर x 1 और y 1 (!) संख्या x 2 और y 2 के समानुपातिक(अर्थात, अंश हर के समानुपाती होते हैं)।

संख्याएँ यहाँ शामिल हैं एक्स 1 , एक्स 2 , वाई 1 और वाई 2 को अनुपात की शर्तें कहा जाता है। वे आम तौर पर सभी सकारात्मक होते हैं, लेकिन उन्हें होना जरूरी नहीं है। हालांकि, उनमें से कोई भी शून्य नहीं माना जाता है। इस समानता को एक विशेष नाम मिला है क्योंकि यह अक्सर विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने में होता है।

समानता के एक हिस्से के "ऊपर से" सदस्यों को समानता के दूसरे हिस्से के "नीचे से" और इसके विपरीत स्थानांतरित करके अनुपात को बदला जा सकता है। इस प्रक्रिया को निम्नानुसार आसानी से उचित ठहराया जा सकता है। मान लीजिए कि हम स्थानांतरित करना चाहते हैं एक्स 1 बाएँ से दाएँ। ऐसा करने के लिए, अनुपात के दोनों पक्षों को 1/ से गुणा करें। एक्स 1:

वह एक चर है एक्स 1 "तिरछे ऊपर से नीचे की ओर" चला गया है। अब चलिए वेरिएबल को "ऊपर बाईं ओर" ले जाते हैं वाई 2 . यह इस समानता के दोनों भागों को इसके द्वारा गुणा करके प्राप्त किया जाता है। नतीजतन, हमारे पास है

अंश एक्स 1 तथा वाई 1 एक दूसरे से ठीक उसी तरह संबंधित हैं जैसे उनके संगत हर एक्स 2 और वाई 2 .

सामान्यीकृत थेल्स प्रमेय

थेल्स प्रमेय, जिसे पिछली बार माना गया था, निम्नलिखित सामान्यीकरण को स्वीकार करता है।

दो मनमानी रेखाएँ दें एक्सतथा वाईतीन समानांतर रेखाओं द्वारा प्रतिच्छेदित एन 1 , एन 2 और एन 3 अंक में एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 और वाई 1 , वाई 2 , वाई 3 जैसा चित्र में दिखाया गया है:

फिर कट ऑफ सेगमेंट की लंबाई निम्न अनुपात बनाती है

एक परिमेय संख्या है, अर्थात इसे एक अलघुकरणीय भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

|एक्स 1 एक्स 2 |

|एक्स 1 एक्स 3 |

कहाँ पे एकतथा बी- कुछ प्राकृतिक संख्याएँ, एक< बी. आइए खंड को विभाजित करें एक्स 1 एक्स 3 पर बीसमान भागों। (जबकि बिंदु एक्स 2 विभाजन बिंदुओं में से एक बन जाएगा।) आइए हम प्रत्येक विभाजन बिंदु के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचें एन 1 , एन 2 और एन 3। (इनमें से एक रेखा रेखा के साथ संपाती होगी एन 2 .)

थेल्स प्रमेय (इसके मूल संस्करण में) के अनुसार, खंड वाई 1 वाई 3 को भी इन रेखाओं से विभाजित किया गया है बीसमान भाग, जिनमें से एकभाग एक खंड बनाते हैं वाई 1 वाई 2 . फलस्वरूप,

|वाई 1 वाई 2 |

|एक्स 1 एक्स 2 |

|वाई 1 वाई 3 |

बी

|एक्स 1 एक्स 3 |

Q.E.D. यह हमारे निर्माण से भी इस प्रकार है

|वाई 2 वाई 3 |

|एक्स 2 एक्स 3 |

|वाई 1 वाई 3 |

बी

|एक्स 1 एक्स 3 |

|वाई 2 वाई 3 |

|एक्स 2 एक्स 3 |

|वाई 1 वाई 2 |

एक

|एक्स 1 एक्स 2 |

अनुपात के गुणों का उपयोग करके, इन समानताओं को एक श्रृंखला के रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

|वाई 1 वाई 2 |

|वाई 2 वाई 3 |

|वाई 1 वाई 3 |

|एक्स 1 एक्स 2 |

|एक्स 2 एक्स 3 |

|एक्स 1 एक्स 3 |

इस प्रकार, खंड एक सीधी रेखा पर कट जाते हैं वाईसंबंधित रेखा खंडों के समानुपाती एक्स.

सैद्धांतिक रूप से, यह भी संभव है कि लंबाई का अनुपात

|एक्स 1 एक्स 2 |

|एक्स 1 एक्स 3 |

एक परिमेय संख्या नहीं है, क्योंकि खंडों की लंबाई | एक्स 1 एक्स 2 | और | एक्स 1 एक्स 3 | सिद्धांत रूप में, अपरिमेय संख्याओं द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। हालाँकि, व्यवहार में ऐसा कभी नहीं होता है। खंडों की लंबाई निर्धारित करने के लिए, हम हमेशा किसी प्रकार के मापने वाले उपकरण (उदाहरण के लिए, एक स्कूल शासक) का उपयोग करते हैं, जो अंतिम दशमलव अंश के रूप में केवल गोल परिणाम देता है।

महत्वपूर्ण परिणाम

असंपाती रेखाएँ दी जाएँ एक्सतथा वाई, जो बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती है, और दो और समानांतर रेखाएँ हैं एन 1 और एन 2 जो रेखा को काटती है एक्सबिंदुओं पर एक्स 1 और एक्स 2 और सीधा वाईबिंदुओं पर वाई 1 और वाई 2 जैसा चित्र में दिखाया गया है।

आइए हम संकेतन का परिचय दें:

एक्स 1 = |बैल 1 |, एक्स 2 = |बैल 2 |;

वाई 1 = |ओए 1 |, वाई 2 = |ओए 2 |;

जेड 1 = |एक्स 1 वाई 1 |, जेड 2 = |एक्स 2 वाई 2 |.

वाई 1

वाई 2

दरअसल, इस श्रृंखला में दोनों समानताएं सामान्यीकृत थेल्स प्रमेय से सीधे अनुसरण करती हैं। पहली समानता के लिए, यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है, लेकिन दूसरे के लिए यह बिंदु से गुजरने के बाद स्पष्ट हो जाता है वाई 1 एक सीधी रेखा खींचो एम, रेखा के समानांतर एक्स.

इसका उलटा भी सच है। चलो एक ही ज्यामितीय निर्माण दिया और यह ज्ञात है कि

फिर रेखाएँ एन 1 और एन 2 समानांतर हैं। दरअसल, आइए हम बिंदु के माध्यम से आकर्षित करें एक्सलाइन के समानांतर 1 सहायक लाइन एन 2 . सामान्यीकृत थेल्स प्रमेय द्वारा, यह सहायक रेखा बिंदु से होकर गुजरती है वाईएक । इसलिए, यह रेखा के साथ मेल खाता है एनएक । इस प्रकार, प्रत्यक्ष एन 1 रेखा के समानांतर एन 2 .

पैमाना

हमारे साथ कागज का एक टुकड़ा और एक पेंसिल लेकर बाहर चलते हैं। आइए अपनी शीट को क्षैतिज रूप से रखें और उस पर बिंदु O को लगभग बीच में रखें। इस बिंदु से हम मानसिक रूप से लगभग सौ मीटर के दायरे में स्थित जमीन पर विभिन्न उल्लेखनीय बिंदुओं की दिशा में किरणें खींचेंगे - पेड़, खंभे, कोने इमारतों और इसी तरह।

मान लीजिए कि हमारे पास इन उल्लेखनीय बिंदुओं की दूरियों को मापने का अवसर है। उदाहरण के लिए, निकटतम पेड़ की दूरी 10 मीटर हो आइए हम मानसिक रूप से बिंदु से अलग हो जाएं हेइस पेड़ की दिशा में एक खंड जिसकी लंबाई दी गई दूरी से 1000 गुना कम है, और कागज पर एक पेंसिल के साथ इसके दूसरे सिरे की स्थिति को चिह्नित करें। यह गणना करना आसान है कि बिंदु से दूरी हेनिशान के लिए 10 मीटर / 1000 \u003d 1 सेमी होगा।

इसी प्रकार किसी अन्य ध्यान देने योग्य वस्तु की दूरी को मान लीजिए एक्सएक । इस दूरी को संख्या से गुणा करें क, 1/1000 के बराबर। मानसिक रूप से बिंदु से अलग सेट करें हेखंड की लंबाई एक्स 2 =केएक्स 1 दिए गए ऑब्जेक्ट को निर्देशित बीम के साथ। कागज पर उस स्थान पर जहां खंड का दूसरा छोर स्थित है, एक पेंसिल के साथ एक निशान बनाएं। इस प्रक्रिया को जमीन पर सभी उल्लेखनीय बिंदुओं के साथ करते हैं, हर समय समान पैरामीटर मान का उपयोग करते हुए क. यदि इन बिंदुओं में से कोई एक बाड़ या दीवार या इसी तरह की किसी चीज से जुड़ा हुआ है, तो हम कागज पर संबंधित चिह्नों के बीच रेखाएँ भी खींचेंगे।

नतीजतन, हमारे कागज की शीट पर हमें क्षेत्र का एक नक्शा मिलता है। थेल्स प्रमेय और अनुपात के गुणों के आधार पर, कागज पर दूरियों के बीच के सभी संबंध वास्तविकता के समान ही होंगे। इसके अलावा, कागज पर सभी लाइनें जमीन पर संबंधित लाइनों के समानांतर होंगी। यह समानता बेशक तब टूटेगी जब हम अपनी शीट को कहीं और ले जाएंगे, लेकिन रेखाओं के बीच के कोण बने रहेंगे।

पैरामीटर क, जिसे हम अपने निर्माण में प्रयोग करते हैं, कहलाती है पैमाने के कारकया केवल पैमाना. बेशक, यह 1/1000 के बराबर होना जरूरी नहीं है। यह, सिद्धांत रूप में, किसी भी मूल्य को ले सकता है, यह केवल महत्वपूर्ण है कि मानचित्र बनाने की प्रक्रिया में यह मूल्य हर समय अपरिवर्तित रहता है।

वास्तविक भौगोलिक मानचित्रों पर, पैमाना आवश्यक रूप से किंवदंती में इंगित किया गया है, और आमतौर पर एक आंशिक पट्टी के बजाय एक बृहदान्त्र का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1:100,000 के पैमाने का मतलब है कि नक्शे पर एक सेंटीमीटर जमीन पर 100,000 सेंटीमीटर (यानी एक किलोमीटर) के बराबर है।

तकनीकी चित्र भी हमेशा बनाए जाते हैं, जैसा कि वे कहते हैं, एक निश्चित पैमाने पर। स्केल 1:1 का अर्थ है कि भाग वास्तविक आकार में खींचा गया है। 10:1 का पैमाना इंगित करता है कि आरेखण को दस गुना वृद्धि के साथ बनाया गया है।

समांतर रेखाओं के बारे में एक नोट

हमने ऐसी गैर-संपाती रेखाओं को समानांतर कहा है, जिनके बीच का कोण शून्य के बराबर है। हमने नोट किया कि ऐसी रेखाएँ कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। अब हम सिद्ध करते हैं कि यदि रेखाएँ एक ही तल में स्थित हों और समांतर न हों (अर्थात् उनके बीच का कोण शून्य से भिन्न हो), तो वे निश्चित रूप से कहीं न कहीं प्रतिच्छेद करेंगी।

मान लीजिए कि समतल पर दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं - एक्सतथा एन. हम उन पर मनमाना बिंदु अंकित करते हैं - हेतथा वाई- और इन बिंदुओं से होकर एक तीसरी सीधी रेखा खींचें - वाई. यह मानते हुए कि रेखाओं के बीच का कोण एक्सतथा एनशून्य के बराबर नहीं है, तो आसन्न कोण एक दूसरे के बराबर नहीं होने चाहिए। निश्चितता के लिए चलो α 1 > α 2 जैसा चित्र में दिखाया गया है।

आइए बिंदु से गुजरते हैं हेप्रत्यक्ष एन 1 रेखा के समानांतर एन. कोने के किनारे से उस पर ध्यान दें α 1 मनमाना बिंदु एन 1 और इस बिंदु के माध्यम से एक रेखा खींचें वाई 1 रेखा के समानांतर वाई. इस मामले में, एक समांतर चतुर्भुज बनता है, जो एक ग्रे पृष्ठभूमि द्वारा चित्र में दर्शाया गया है।

इसका अर्थ है कि प्रत्यक्ष वाई 1 रेखा को पार करता है एनकिसी बिंदु पर, जिसे हम निरूपित करेंगे एन. सीधा एक्स, बिंदु पर समांतर चतुर्भुज के "क्षेत्र" में प्रवेश करना हेकहीं बाहर आया होगा। वह इसे खंड के माध्यम से कर सकती है Y N, या खंड के माध्यम से एन 1 एन. पहले मामले में, यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि रेखा एक्सरेखा पार करता है एन. आइए दूसरे मामले पर विचार करें। रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करें एक्सऔर काटो एन 1 एनके माध्यम से एक्सएक । आइए इसके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें एन 2 रेखा के समानांतर एन. यह रेखा समांतर चतुर्भुज को विभाजित करती है पर 1 न्यूयॉर्कदो नए समांतर चतुर्भुजों में और रेखा को काटता है वाईकिन्हीं बिंदुओं पर वाईएक । एक सीधी रेखा पर ध्यान दें एक्सऐसा बिंदु एक्स, जिसके लिए संबंध

|हेवाई 1 |

आइए बिंदुओं से गुजरते हैं एक्सतथा वाईप्रत्यक्ष। ऊपर विचार किए गए थेल्स प्रमेय के परिणाम के अनुसार, यह रेखा रेखा के समानांतर है एन 2, जिसका अर्थ है कि यह रेखा के साथ एक शून्य कोण बनाता है एन. इसलिए, नई रेखा रेखा के साथ मेल खाती है एन, जो इस प्रकार रेखा को काटता है एक्सबिंदु पर एक्स.

अब हम असंपाती रेखाओं के बारे में निम्नलिखित तीन कथनों पर जोर दे सकते हैं एकतथा बीएक ही विमान में लेटने का मतलब बिल्कुल एक ही है:

(1) सीधी रेखाओं के बीच का कोण एकतथा बीशून्य के बराबर।

(2) सीधा एकतथा बीकहीं भी मत काटो।

(3) सीधा एकतथा बीसमानांतर हैं।

पारंपरिक ज्यामिति पाठ्यक्रमों में, रेखाओं के समानांतरवाद की परिभाषा कथन 2 है। हमने इस उद्देश्य के लिए कथन 1 को चुना है। आखिरकार, यह सुनिश्चित करने की तुलना में दो रेखाओं के बीच के कोण को निर्धारित करना बहुत आसान है कि वे अपनी पूरी रेखा के साथ कहीं भी प्रतिच्छेद न करें। अनंत लंबाई।

सार

1. रूप की समानता एक्स 1 /एक्स 2 = वाई 1 /वाई 2 को अनुपात कहा जाता है। अंश भाजक के समानुपाती होते हैं। एक भिन्न के अंश और हर उसी प्रकार संबंधित होते हैं जैसे दूसरे भिन्न के अंश और हर में। समतुल्य समानता: एक्स 1 /वाई 1 = एक्स 2 /वाई 2 .

2. सामान्यीकृत थेल्स प्रमेय. दो मनमानी रेखाएँ दें एकतथा बीतीन समानांतर रेखाओं द्वारा प्रतिच्छेदित। फिर सेगमेंट लाइन पर कट जाते हैं एक, एक सीधी रेखा पर काटे गए संबंधित खंडों के समानुपाती होते हैं बी.

3. उपप्रमेय 1. एक बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक कोण की भुजाएँ दें हेदो समानांतर रेखाओं द्वारा प्रतिच्छेदित एन 1 और एन 2 . फिर खंडों को सीधी रेखाओं में काट दिया जाता है एन 1 और एन 2, उसी तरह से संबंधित हैं जैसे बिंदु से कोण के दोनों तरफ प्लॉट किए गए खंड हेलाइनों के साथ चौराहे के संबंधित बिंदुओं पर एन 1 और एन 2 .

4. परिणाम 2. कोने के किनारों के खंडों को शीर्ष से इस तरह से अलग रखा जाए कि एक तरफ के खंड दूसरी तरफ के खंडों के समानुपाती हों। फिर इन खंडों के संगत सिरों से गुजरने वाली रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

5. दूरियों और सभी कोणों के बीच के सभी अनुपात मानचित्र पर सहेजे जाते हैं। मानचित्र पर कुछ दो बिंदुओं के बीच की दूरी का जमीन पर संबंधित बिंदुओं के बीच की दूरी का अनुपात बिंदुओं की पसंद पर निर्भर नहीं करता है और इसे पैमाना कहा जाता है।

6. यदि एक ही तल में पड़ी दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण शून्य के बराबर नहीं है, तो ऐसी रेखाओं को प्रतिच्छेद करना चाहिए।

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